Страница 32 — ГДЗ по Математике 3 класс Моро, Волкова 2 часть

---

• Тип: ГДЗ, Решебник.
• Автор: Моро М. И., Волкова С. И., Бантова М. А.
• Год: 2020.
• Серия: Школа России (ФГОС).
• Издательство: Просвещение.

❤️️Ответ к странице 32. Математика 3 класс учебник 2 часть. Автор: М.И. Моро.

Решебник — страница 32Готовое домашнее задание

Номер 1.

Выполни деление с остатком и проверь:

Ответ:

Номер 2.

Ответ:

Номер 3.

Половину пути от дома до школы мальчик прошел за 15 мин, а на остальной путь он затратил на 6 мин больше. Сколько времени он затратил на весь путь до школы?

Ответ:

1) 15 + 6 = 21 (мин) – затратил на остальной путь. 2) 15 + 21 = 36 (мин) – всё время пути. Ответ: 36 минут.

Номер 4.

Начерти квадрат, площадь которого равна 4 см². Раскрась его четвертую часть. Покажи, как это можно сделать по-разному. Сколько квадратных сантиметров раскрашено? Чему равна площадь нераскрашенной части?

Ответ:

1 см² – раскрашен. S нераскрашенной части 3 см².

Номер 5.

Ответ:

45 : 15 = 3     78 : 6 ∙ 3 = 39 99 : 33 = 3     51 : 3 ∙ 4 = 68 80 : 16 = 5     84 : 4 ∙ 3 = 63
100 – 2 ∙ 18 = 64     (34 + 36) : 10 = 7 100 – 3 ∙ 18 = 46     (75 − 33) : 3 = 14 100 – 4 ∙ 18 = 28     (82 − 16) : 33 = 2

Номер 6.

Измерь стороны многоугольников в миллиметрах и найди периметр каждого из них.

Ответ:

Р₁ = 24 ∙ 4 = 96 мм Р₂

= 33 ∙ 3 = 99 мм Р₃ = 15 ∙ 6 = 90 мм

Номер 7.

Используя только цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и не повторяя ни одну из них, составь такие 4 числа, чтобы при их сложении получилось 100.

Ответ:

2 + 17 + 35 + 46 = 100 5 + 12 + 36 + 47 = 100 6 + 15 + 37 + 42 = 100 6 + 15 + 32 + 47 = 100 7 + 14 + 23 + 56 = 100 7 + 16 + 35 + 42 = 100

Задание внизу страницы

Выполни проверку деления с остатком.

Ответ:

65 : 20 = 3(ост.5)    39 : 12 = 3(ост.3) Проверка                Проверка 5 < 20                      3 < 12 20 ∙ 3 + 5 = 65        12 ∙ 3 + 3 = 39

Рейтинг

Выберите другую страницу

1 часть

Учебник Моро	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111

2 часть

4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111

Страница 35 — ГДЗ по Математике 3 класс Моро, Волкова 2 часть

---

• Тип: ГДЗ, Решебник.
• Автор: Моро М. И., Волкова С. И., Бантова М. А.
• Год: 2020.
• Серия: Школа России (ФГОС).
• Издательство: Просвещение.

❤️️Ответ к странице 35. Математика 3 класс учебник 2 часть. Автор: М.И. Моро.

Решебник — страница 35Готовое домашнее задание

Номер 15.

Найди на рисунке прямые, острые и тупые углы. Выпиши их номера.

Ответ:

Прямые углы: 8, 9, 10, 11, 13, 14, 12, 15. Острые углы: 1, 2, 3, 4, 6. Тупые углы: 5, 7.

Номер 16.

Выполни деление с остатком.

Ответ:

36 : 7 = 5 (ост. 1) 44 : 5 = 8 (ост. 4) 60 : 8 = 7 (ост. 4) 80 : 12 = 6 (ост. 8) 44 : 18 = 2 (ост. 8)

Номер 17.

Запиши по 3 числа, при делении которых на 8 в остатке получается 5; 6; 2; 0.

Ответ:

29 : 8 = 3 (ост. 5) 45 : 8 = 5 (ост. 5) 61 : 8 = 7 (ост. 5)
22 : 8 = 2 (ост. 6) 38 : 8 = 4 (ост. 6) 54 : 8 = 6 (ост. 6)
18 : 8 = 2 (ост. 2) 58 : 8 = 7 (ост. 2) 82 : 8 = 10 (ост. 2)
16 : 8 = 2 (ост. 0) 64 : 8 = 8 (ост. 0) 72 : 8 = 9 (ост. 0)

Номер 18.

Выйдет ли квадратная проволочная рамка со стороной 7 см из треугольной рамки, каждая сторона которой равна 9 см?

Ответ:

Номер 19.

На юношеских соревнованиях по плаванию на 100 м Косте осталось проплыть четвертую часть дистанции, а Вите – пятую ее часть. Кто из них ближе к финишу и на сколько метров?

Ответ:

1) 100 : 4 = 25 (м) – осталось проплыть Косте. 2) 100 : 5 = 20 (м) – осталось проплыть Вите. 3) 25 – 20 = 5 (м) – на столько ближе Витя. Ответ: Витя ближе к финишу на 5 м.

Номер 20.

Ответ:

7 м 8 дм = 78 дм    95 см > 8 дм 9 см 6 дм 5 см < 7 дм    18 мм = 1 см 8 мм

Номер 21.

Что больше и на сколько:

Ответ:

1) 45 : 9 < 42 : 6          8 ∙ 8 > 9 ∙ 7     42 : 6 – 45 : 9 = 2    8 ∙ 8 – 9 ∙ 7 = 1

2) 18 : 2 > 27 : 9          56 : 7 > 24 : 6     18 : 2 – 27 : 9 = 6    56 : 7 – 24 : 6 = 4

Номер 22.

Ответ:

99 : 9 + 32 : 2 = 11 + 16 = 27 96 : 8 + 75 : 5 = 12 + 15 = 27

Номер 23.

1) Ломаная состоит из четырех одинаковых звеньев, длиной 3 см каждое. Найди длину этой ломаной.
2) Начерти ломаную такой же длины, но состоящую из трех звеньев одной длины; разной длины.

Ответ:

1) 4 ∙ 3 = 12 (см) — длина ломаной.     Ответ: 12 см длина ломаной.

2)

Номер 24.

Начерти в тетради пятиугольник, в котором будет 2 прямых угла, 2 тупых и 1 острый угол.

Ответ:

Номер 25.

Переставь карточки так, чтобы равенство стало верным.

Ответ:

96 : 4 = 24

Номер 26.

Найди разными способами площадь данной фигуры.

Ответ:

Ответ: 6 см² площадь фигуры

Рейтинг

Выберите другую страницу

1 часть

Учебник Моро	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111

2 часть

4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111

Ваше сообщение отправлено!

+

Что такое дюжина? Определение, единица измерения, примеры, факты

Что такое дюжина?

Предположим, вас попросили купить на рынке дюжину бананов. Сколько бананов вы купите? Сколько составляет дюжина? Чтобы получить дюжин , требуется 12 единиц .

Группа из 12 объектов или предметов вместе называется «дюжиной» предметов. Таким образом, дюжина бананов означает 12 бананов.

Слово «дюжина» происходит от французского слова «douzaine», что означает группу из 12 человек.

Связанные игры

Определение дюжины

дюжина — одна из старейших единиц измерения . Дюжина — это группа из двенадцати предметов, форм или чисел. Сокращенно обозначается как доз или дз. Единица дюжины используется во всем мире.

Например, дюжин яиц. . .

Или дюжин звезд!

Связанные рабочие листы

Откуда взялся термин «дюжина»?

Слово дюжина происходит от французского слова «douzaine», что означает группу из 12 . Дюжина — одна из самых примитивных привычных единиц измерения чисел.

Система счисления с основанием 12 называется двенадцатеричной или дюжинальной . Считается, что он начал считать кости пальцев с помощью большого пальца. Он связан с природой. День состоит из двух циклов по 12 часов, а год состоит из двенадцати месяцев или двенадцати лунных циклов или знаков зодиака.

Более того, среди чисел младше 18 лет число 12 имеет наибольшее количество делителей — 1, 2, 3, 4, 6 и 12, — что позволяет разделить единицу на большее количество частей. Приходят разные вещи в десятке . Многие товары для дома продаются десятками.

Что такое дюжина дюжин?

«Дюжина десятков!» Забавно сказать, не так ли? Итак, что такое дюжина десятков? Это 12 дюжин. Двенадцать дюжин называются «валовыми». Это сокращение от старофранцузского термина Grosse douzaine, , что означает большую дюжину.

Десять дюжин называются « малый брутто », а двенадцать гроссов называются « большой брутто ». Торговцы обычно покупают свои товары оптом и продают их десятками.

Некоторые предметы, упакованные по дюжине, также делятся на более крупные наборы. Эта практика распространена, когда поставщики продают эти товары оптом.

Десятичная система против системы дюжин

Вы можете удивиться, зачем вам изучать новую систему десятков , когда вы уже умеете считать в десятичной системе. Ну, это потому, что у дюжин методов расчета есть преимущества. Прежде всего, это облегчает подсчет нескольких конкретных предметов. Мы привыкли считать десятками, поэтому счет до 12 может быть интересной задачей.

И 12 или дюжина для нас не новость. Мы используем его в наших ежедневных расчетах, как на циферблате часов 12 цифр. В сутках 12 часов, в году 12 месяцев. Видите ли, мы все время считаем до двенадцати. Итак, вы хотели 8 яиц для рецепта, а вам дали дюжин в пачке. Знаешь, мама всегда может приготовить вкусную яичницу-болтунью на завтрак на следующее утро. Разве это не прекрасное дополнительное преимущество дюжины ?

Шестидесятеричная система

«Шестидесятеричная система счисления» звучит немного пугающе. Но это довольно просто и увлекательно. Это древняя система счета, в которой используются степени 60, почти так же, как десятичная система использует степени 10. Эта система делит час на 60 минут, а затем минуту на 60 секунд.

Забавные факты о дюжине

• дюжина пекаря равна 13, на единицу больше, чем настоящая дюжина . Он также известен как длинная дюжина . Пекари ввели этот обычай, чтобы избежать штрафа за подачу менее необходимого веса для 12 блюд.
• Число 12, скорее всего, впервые использовалось в качестве единицы измерения древними жителями Месопотамии.

Заключение

Дюжина — широко используемый термин, когда вы покупаете вещи. Это обычная единица, которая использовалась веками. Это значительно упрощает процесс подсчета нескольких объектов. Вы также звучите очень умно, говоря это. Теперь, когда вы узнали об этом все, купите десятки ваших любимых вещей в следующий раз, когда пойдете за покупками, и получите огромное удовольствие от этого.

A дюжина Розы будут пахнуть, так что божественно

A ETED .IES .ENIER .ENIER .ESIER .ENIES .ENIES .IES . пока не закончишь

A дюжина щенки, ну что за веселье,

Но сначала, что такое дюжина?

Динамическая дюжина: введение

Решенные примеры на дюжине

1. Найдите значения

а) $\frac{3}{4}$ дюжины и б) $ \frac{1}{2}$ из дюжины

Решение:

a) $\frac{3}{4}$ из дюжины

дюжина равна 12 единицам . $\frac{3}{4}$ из дюжин равно $\frac{3}{4} \times 12 = 9$

Итак, $\frac{3}{4}$ из дюжина равна 9

b) $\frac{1}{4}$ дюжины

дюжина равна 12 единицам. $\frac{1}{4}$ из дюжин равно $\frac{1}{4} \times 12 = 3$

Итак, $\frac{1}{4}$ из дюжин is 3

2. Сэм купил 5 десятков одноразовых стаканчиков для вечеринки. Каково количество купленных им одноразовых стаканчиков?

Решение:

Сэм купил 5 дюжин одноразовых стаканчиков для вечеринки. (Дано)

дюжина равна 12 единицам.

Чтобы узнать количество одноразовых стаканчиков, умножьте 5 на 12

5 дюжина $= 5 х 12 = 60$

Итак, Сэм купил 60 одноразовых стаканчиков для вечеринки.

3. Мэри заказала 72 свечи на Рождество. Свечи пришли пачками по 10 штук. Сколько пачек свечей пришло?

Решение:

В каждой пачке дюжин свечей, всего 72.

Чтобы найти число десятков в 72, разделите 72 на 12.

72$\дел 12 = 6$

Следовательно, упаковок свечей было 6.

4. Сьюзи продала «небольшое количество» печенья «Девочки-скауты». Сколько печенья она продала?

Решение:

Десять дюжин называются «мелким брутто».

Итак, Сьюзи продала 10 дюжин печенья. дюжин здесь относится к 12 файлам cookie.

10 дюжина будет иметь 10 долларов \ умножить на 12 = 120 долларов печенья.

Таким образом, Сьюзи продала 120 печенек.

5. Сколько десятков в числе 240?

Решение:

, чтобы найти номер десятков в 240, разделите 240 на 12.

$ 240 \ Div 12 = 20 $

Следовательно, 20 Dozens . Практические задачи на дюжине

1

Какие из приведенных ниже изображений обозначают дюжину пончиков?

A

B

C

D

Правильный ответ: C
Мы знаем, что дюжина равна 12 единицам.
Вариант с изображает 12 пончиков, составляющих дюжину.

2

Сколько десятков цветных карандашей вы видите на изображении ниже?

1 дюжина

2 дюжины

3 дюжины

Ничего из перечисленного

Правильный ответ: 2 дюжины
Мы знаем, что дюжина равна 12 единицам.
На приведенном выше рисунке показаны 24 цветных карандаша.
24$ = 2 \умножить на 12$ (дюжина)
Итак, на изображении мы видим 2 дюжины цветных карандашей.

3

Мэгги купила 4 дюжины яблок. Сколько стоят 4 дюжины яблок?

12 яблок

24 яблока

36 яблок

48 яблок

Правильный ответ: 48 яблок
Под дюжиной яблок понимается 12 яблок.
4 дюжины будут иметь 4 $ \ умножить на 12 = 48 $ яблок.

4

Как называется 12 десятков?

брутто

мелкий брутто

средний брутто

большой брутто

Правильный ответ: брутто
Двенадцать дюжин называются брутто.

5

Дэн должен разложить по коробкам 288 ягод клубники. Сколько коробок ему понадобится, если каждая коробка может вместить дюжину?

10 коробок

24 коробки

30 коробок

32 коробки

Правильный ответ: 24 коробки
В каждой коробке может поместиться дюжина клубник, то есть 12 ягод клубники.
Чтобы найти количество ящиков, разделите 288 на 12.
$288 \div 12 = 24$
Следовательно, Дэну нужно 24 коробки.

Часто задаваемые вопросы о дюжине

Что означает термин «полдюжины»?

Как следует из названия, «полдюжины» — это ровно полдюжины. Мы уже узнали, что дюжина равна 12 единицам. Итак, полдюжины равны половине 12, то есть 6 единиц.

Следовательно, $\frac{1}{2} doz $= 6$ единиц

Перечислите несколько предметов домашнего обихода, купленных десятками.

Некоторые типичные предметы сгруппированы или продаются наборами по 12 штук или дюжинами. К ним относятся яйца, цветы, печенье и пончики. Это потому, что число 12 легко делится на половинки, трети и четверти. Многие производители также упаковывают часто используемые предметы, такие как карандаши, одноразовые стаканчики и т. д., дюжинами.

Что вы понимаете под термином « большой брутто»?

Сумма, равная двенадцати дюжинам, 144, называется «брутто». 12 гроссов известны как большой брутто ; это относится к 12 раз брутто. Это 12, умноженное на 144. Итак, большой брутто равен 1728 предметам или единицам. Он также известен как «большой брутто».

Что вы понимаете под термином « великая сотня»?

A большая сотня — кардинальное число, являющееся произведением десяти и двенадцати. Итак, великая сотня равна 10 дюжинам. Итак, мы умножаем 12 на 10, чтобы получить значение 120. Это также называется «маленький брутто».

Что означает идиома «пять центов»?

Идиома «пять центов» относится к чему-то обычному, а не особенному. Если говорят, что вещей пруд пруди, то их много, и из-за этого они не представляют особой ценности или особого интереса.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Здесь мы учимся решать уравнения такого типа:

d ² y dx ² + p dy дх + кв = 0

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение — это уравнение с функцией и одной или несколькими ее производными:

Пример: уравнение с функцией y и ее производная dy dx  

Заказ

Орден является высшей производной (это первая производная? вторая производная? и т. д.):

Пример:

dy dx + y ² = 5x

Имеет только первую производную dy dx , то есть «Первый порядок»

Пример:

D ² Y DX ² + XY = SIN (x)

Это имеет второе производное D ² Y 1923 2 ^{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . Заказ» или «Заказ 2»}

Пример:

d ³ y dx ³ + x dy dx + y = e ^x

This has a third derivative d ³ y dx ³ which outranks the dy dx , so is «Third Заказ» или «Заказ 3»

Прежде чем приступать к дифференциальным уравнениям второго порядка, убедитесь, что вы знакомы с различными методами решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Мы можем решить дифференциальное уравнение второго порядка типа:

d ² y dx ² + P(x) dy dx + Q(x)y = f(x)

, где P(x), Q(x) и f(x) являются функциями от x, используя:

Неопределенные коэффициенты, которые работают только тогда, когда f(x) является полиномом, экспонентой, синусоидой, косинус или их линейная комбинация.

Вариация параметров, которая немного сложнее, но работает с более широким набором функций.

Но здесь мы начнем с изучения случая, когда f(x) = 0 (это делает его «однородным»):

d ² y dx ² + P(x) dy dx + Q(x)y = 0

, а также где функции P(X) и Q(x) являются константами p и q :

d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0

Давайте научимся их решать!

 

e на помощь

Мы собираемся использовать специальное свойство производной экспоненциальной функции:

В любой точке наклон (производная) e ^x равен значению e ^x :

И когда мы вводим значение «r» вот так:

f(x) = e ^rx

Находим:

• первая производная равна f'(x) = re ^рх
• вторая производная равна f»(x) = r ² e ^rx

Другими словами, первая и вторая производные от f(x) кратны от f(x)

Это нам очень поможет!

Example 1: Solve

d ² y dx ² + dy dx − 6y = 0

Let y = e ^rx so we get:

• dy dx = re ^rx
• d ² y dx ² = r ² e ^rx

Замените их в уравнение выше:

R ² E ^RX + RE ^RX — 6E ^RX = 0

Упрощение:

E 4244424442444244424442444244424442444244424 (0

:

E 424442444244424. ) = 0

r ² + r − 6 = 0

Мы свели дифференциальное уравнение к обыкновенному квадратному уравнению!

Этому квадратному уравнению присвоено специальное название характеристическое уравнение .

Мы можем разложить это на:

(r − 2)(r + 3) = 0

Итак, r = 2 или −3

Итак, у нас есть два решения:

y = e ^2x

y = e ^−3x

Но это не окончательный ответ, потому что мы можем комбинировать различные кратные этих двух ответов, чтобы получить более общее решение:

y = Ae ^2x + Be ^−3x

Проверить

Давайте проверим этот ответ. First take derivatives:

y = Ae ^2x + Be ^−3x

dy dx = 2Ae ^2x − 3Be ^−3x

d ² y dx ² = 4Ae ^2x + 9Be ^−3x

Теперь подставим в исходное уравнение:

d ² y dx ² + DY DX — 6Y = 0

(4AE ^2x + ^−3x ) + (2ae ^2x — 3be ^{−3×423 (2ae 2x — 3be −3×423). Be −3x ) = 0}

4ae ^2x + 9be ^−3x + 2ae ^2x — 3be ^−3x — 6ae ^{2x −3x — 6ae 2x −3x — 6ae 2x −3x — 6. + 2Ae 2x − 6Ae 2x + 9Be −3x − 3Be −3x − 6Be −3x = 0}

0 = 0

Сработало!

Так вообще этот метод работает?

Ну и да и нет. Ответ на этот вопрос зависит от констант p и q .

С y = e ^rx как решение дифференциального уравнения:

d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0

получаем:

р ² e ^rx + pre ^rx + qe ^rx = 0

e ^rx (r ² + pr + q) = 0

г ² + пр + кв = 0

Это квадратное уравнение, и может быть три типа ответа:

• два действительных корня
• один действительный корень (т. е. оба действительных корня одинаковы)
• два сложных корня

Как мы решаем это зависит от типа!

Мы можем легко определить тип, вычислив дискриминант р ² — 4q . Когда это

• положительный получаем два действительных корня
• ноль получаем один реальный корень
• минус получаем два комплексных корня

Два действительных корня

Когда дискриминант p ² − 4q равен положительному , мы можем перейти прямо к дифференциальному уравнению

d ² y dx ² + p dy dx + число = 0

через «характеристическое уравнение»:

г ² + пр + кв = 0

к общему решению с двумя действительными корнями r ₁ и r ₂ :

y = Ae ^{r ₁ x} + Be ^{r ₂ x}

Пример 2: Решить

d ² y dx ² − 9 dy + dx 9200060007

Уравнение характеристики:

r ² − 9r + 20 = 0

Коэффициент:

(r − 4)(r − 5) = 0 9

7

или общее решение нашего дифференциального уравнения:

y = Ae ^4x + Be ^5x

А вот некоторые примерные значения:

Пример 3: Решить

6 d ² y dx ² + 5 DY DX — 6y = 0

Характерное уравнение:

6R ² + 5R — 6 = 0

Фактор:

(3R — 2) (2R + 3) = 0.

R = 2 3 или −3 2

, поэтому общее решение нашего дифференциального уравнения:

Y = AE ^{( 2 3 x)} + BE ^{( 2 3 x)} + be ^{( 2 3 x) ( 2 3 x). −3 2 х)}

Пример 4: Решение

9 D ² Y DX ² — 6 DY DX — Y = 0

Уравнение характеристики:
9

9042 9042 9042 9042 9042 9042. = 0

Это не просто факторизовать, поэтому мы используем формулу квадратного уравнения:

x = −b ± √(b ² − 4ac) 2a

с a = 9, b = −6 и c = −1

x = −(−6) ± √((−6) ² — 4 × 9 × (−1)) 2 ×

x = 6 ± √ (36+ 36) 18

x = 6 ± 6√2 18

. x = 1 ± √2 3

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения: 3 )х

Один реальный корень

Когда дискриминант р ² − 4q равно нулю получаем один действительный корень (т.е. оба действительных корня равны).

Вот несколько примеров:

Example 5: Solve

d ² y dx ² − 10 dy dx + 25y = 0

The characteristic equation is:

r ² − 10r + 25 = 0

Коэффициент:

(r − 5)(r − 5) = 0

r = 5

Таким образом, у нас есть одно решение: Y = E ^5x

Но , когда E ^5x — это раствор, затем XE ^{5 5x 5x 5x} 2424242424242424242424242424242424242424242424442424242424442444244444242.

Почему? I can show you:

y = xe ^5x

dy dx = e ^5x + 5xe ^5x

d ² y dx ² = 5e ^5x + 5e ^5x + 25xe ^5x

So

d ² y dx ² − 10 dy dx + 25y

= 5e ^5x + 5e ^5x + 25xe ^5x − 10(e ^5x + 5xe ^5x ) + 25xe ^5x

= (5e ^5x + 5e ^5x − 10e ^5x ) + (25xe ^5x − 50xe ^5x + 25xe ^5x ) = 0

Итак, в этом случае наше решение:

y = Ae ^5x + Bxe ^5x

 

Как это работает в общем случае?

При y = xe ^rx получаем производные:

• dy dx = e ^rx + rxe ^rx
• d ² y dx ² = re ^rx + re ^rx + r ² xe 3 rx0424

Так

d ² y dx ² + p dy dx + qy

= (re ^rx + re ^rx + r ² xe ^rx ) + p( e ^rx + rxe ^rx ) + q( 2 xe 90 4 ) + q( 2 xe 90 4)

= e ^rx (r + r + r ² x + p + prx + qx)

= e ^rx (2r + p + x(r ² + pr + q))

= е ^rx (2r + p), потому что мы уже знаем, что r ² + pr + q = 0

 

А когда r ² + pr + q имеет повторяющийся корень, то r = −p 2 и 2r + p = 0

Таким образом, если r является повторяющимся корнем характеристического уравнения, то общее решение равно

.

у = Ae ^rx + Bxe ^rx

Давайте попробуем другой пример, чтобы увидеть, как быстро мы можем получить решение:

Example 6: Solve

4 d ² y dx ² + 4 dy dx + y = 0

The characteristic equation is:

4r ² + 4R + 1 = 0

Тогда:

(2R + 1) ² = 0

R = — 1 2

Таким образом ^(−½)x + Bxe ^(−½)x

Сложные корни

Когда дискриминант p ² − 4q равен отрицательному , мы получаем комплексные корни.

Давайте попробуем пример, который поможет нам понять, как сделать этот тип:

Пример 7: Решение

D ² y DX ² — 4 DY DX + 13Y = 0

Уравнение

9494.

. 4994.

.

.

. 4. 49. 4. 4. 4. 4. 4. 4.

. 4. 4. 4. 4. 4. 4.

.

. 4. + 13 = 0

Это не фактор, поэтому мы используем формулу квадратного уравнения: = −4 и c = 13

x = −(−4) ± √((−4) ² − 4×1×13) 2×1

x = 4 ± √(16 − 52) 2

x = 4 ± √(−36) 2

x = 4 ± 6i 3 x = 904 9004

07

Если мы будем следовать методу, используемому для двух действительных корней, то мы можем попробовать решить:

y = Ae ^(2+3i)x + Be ^(2−3i)x

Мы можем упростить это так как e ^2x является общим делителем:

y = e ^2x ( Ae ^3ix + Be ^−3ix )

Но мы еще не закончили… !

Формула Эйлера говорит нам, что:

e ^ix = cos(x) + i sin(x)

Итак, теперь мы можем пойти по совершенно новому пути, чтобы (в конце концов) все упростить.

Глядя только на часть «A плюс B»:

Ae ^3ix + Be ^−3ix

A(cos(3x) + i sin(3x)) + B(cos(−3x) + i sin(−3x))

Acos(3x) + Bcos(−3x) + i(Asin(3x) + Bsin(−3x))

Теперь применим тригонометрические тождества: cos(−θ)=cos(θ) и sin(−θ)=−sin(θ):

Acos(3x) + Bcos(3x) + i(Asin(3x) − Bsin(3x)

(A+B)cos(3x) + i(A−B)sin(3x)

Заменить A+B на C и A−B на D:

Ccos(3x) + iDsin(3x)

И мы получаем решение:

y = e ^2x ( Ccos(3x) + iDsin(3x) )

 

Проверить

У нас есть ответ, но, может быть, стоит проверить, что он действительно удовлетворяет исходное уравнение:

y = e ^2x ( Ccos(3x) + iDsin(3x) )

dy dx = e ^2x ( -3Csin(3x)+3xDcos) ^2x ( Ccos(3x)+iDsin(3x))

d ² y dx ² = e ^2x ( −(6C+9iD)sin(3x) + (−9C+6iD)cos(3x)) + 2e ^2x (2C+3iD)cos(3x) + (−3C+2iD) SIN (3X))

Заместитель:

D ² Y DX ² — 4 DY DX + 13y = E ^2x (нок (6C + 9000 + 13y = E ^2x (6C + 9000 (6C + + 13y = E ^2x (6c + 13y = E ^2x (6c + 13y = E ^2x . ) + (-9C+6iD)cos(3x)) + 2e ^2x (2C+3iD)cos(3x) + (-3C+2iD)sin(3x)) — 4( e ^2x ( -3Csin( 3x)+3iDcos(3x)) + 2e ^2x (Ccos(3x)+iDsin(3x)) ) ) + 13( e ^2x (Ccos(3x) + iDsin(3x)) )

… эй, почему бы ВАМ не попробовать сложить все термины, чтобы увидеть, равны ли они нулю … если нет, пожалуйста, дайте мне знать, хорошо?

Как это обобщить?

Обычно, когда мы решаем характеристическое уравнение с комплексными корнями, мы получаем два решения r ₁ = v + wi и r ₂ = v − wi

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения равно

.

y = e ^vx ( Ccos(wx) + iDsin(wx))

Пример 8: Решение

D ² y DX ² — 6 DY DX + 25Y = 0

Уравнение

9494. 4949494.

.

.

.

.

.

. 4.

994. 4 4. 4. 4 4. 4.

. 4. 4.

.

.

9. 4.

9.

9. 4.

9. .

2 .

. + 25 = 0

. Используйте формулу квадратного уравнения:

х = −(−6) ± √((−6) ² — 4 × 1 × 25) 2 × 1

x = 6 ± √ (36–100) 2

x = 6 ± √ (−64) 2

. = 6 ± 8i 2

x = 3 ± 4i

И получаем решение:

y = e ^3x (Ccos(4x) + iDsin(007)) 90

Пример 9: Решить

9 d ² y dx ² + 12 dy 06 + 209y = 0

Характеристическое уравнение:

9r ² + 12r + 29 = 0

Используйте формулу квадратного уравнения: 2a

с a = 9, b = 12 и c = 29

x = −12 ± √(12 ² − 4×9×29) 2×9 = −12 ± √(144−1044) 18

x = −12 ± √(−900) 18

х = -12 ± 30i 18

х = — 2 3 ± 5 3 I

и мы получаем решение:

Y = E ^{( — 2 3 ) x} (CCOS ( 5 3 x) + IDSIN ( 5 3 x) + IDSIN ( 5 3 x) + IDSIN ( 5 3 x) + IDSIN ( 5 3 x) 3 х))

Резюме

Чтобы решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида

д ² у дх ² + p dy dx + qy = 0

где p и q константы, надо найти корни характеристического уравнения

г ² + пр + кв = 0

Есть три случая, в зависимости от дискриминанта p ² — 4q .