ГДЗ Алгебра 7 Класс Номер 1.19 – Telegraph
➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!
ГДЗ Алгебра 7 Класс Номер 1.19
Вы открыли задание номер 1 .19 (19) из решебника на uchim .org . Другие номера: ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович .
ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович задачник Базовый уровень §1 — 1 .19 . Подробное решение §1 № 1 .19 по алгебре задачник для учащихся 7 класса Базовый уровень, авторов Мордкович .
Подробный решебник по алгебре для 7 класса , авторов Арефьева, Пирютко . Качественные ГДЗ ко всем заданиям учебника на Решеба . Благодаря нашему решебнику, каждый школьник сможет изучить курс алгебры 7 класса, а подробные ответы помогут разобрать непонятные . .
ГДЗ (готовое домашние задание из решебника) на Задание №1 .19 по учебнику Алгебра . 7 класс . Часть 2 . Задачник для учащихся 7 класс . Часть 2 . Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А .Г . Мордкович и др . — 17-е издание . Мнемозина, -2020
ГДЗ Арефьева, Пирютко за 7 класс по Алгебре .
Тип: Учебник . Издатель: Народная асвета 2019 год . Белорусские ГДЗ и Решебник за 7 класс по Алгебре поможет Вам найти верный ответ на самый сложный номер задания онлайн . 1 .19 . 1 .20 . 1 .21 .
Онлайн решебник и ГДЗ по алгебре для 7 -го класса к новому учебнику 2020 года, авторов Арефьева И . Г ., Пирютко О . Н . с подробными С переходом в 7 класс, ученики сталкиваются с тем, что привычная математика начинает включать в себя сразу две, довольно серьезные . .
Решенное задание 1 .19 из учебника Мордковича 7 класс по алгебре бесплатно с пояснениями . Популярные решебники 7 класс Все решебники .
Арефьева И .Г ., Пирютко О .Н . Решебник (ГДЗ ) по Алгебре за 7 (седьмой ) класс авторы: Арефьева, Пирютко издательство Народная асвета, 2019 год .
Задача №19, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Макарычева . Ответы из решебника . Макарычев, Миндюк, Нешков . 1 . Выражения . Номер №19 .
Готовые домашние задания по математике седьмой класс учебник Мордкович .
Детальные ГДЗ с ходом решения . ГДЗ (решебники) -> 7 класс -> А .Г . Мордкович «Алгебра » 7 класс .
О сервисе Прессе Правообладателям Связаться с нами Авторам Рекламодателям . .
ГДЗ по алгебре 7 класс , авторы: , Арефьева И .Г ., Пирютко О .Н ., Народная асвета 2020-2021 год . Глава 1 . Упражнения .
Онлайн решебники по Алгебре для 7 класса , гдз и ответы к домашним заданиям . Да и на контрольных и самостоятельных работать ребенку будет гораздо проще справляться с заданиями, если дома он уже подготовился и решил несколько аналогичных примеров .
Задание № 1 .19 — Алгебра 7 класс (Мордкович) . Посмотрел видео? Пройди тест: Пройди тест . Письменное решение . Другие номера . В задании 1 .19 нас даны выражения с переменными и нужно найти значение выражения при определенном значении переменных .
Готовое домашнее задание – это далеко не только ресурс для списания . Большинство подобных пособий, в том числе и по задачнику А .Г . Мордковича ФГОС за 7 класс , содержат не только правильные ответы на любой номер, но и решение заданий .
Вы открыли задание номер 1 .19 (19) из решебника на uchim .org . Другие номера: ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович .
ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович задачник Базовый уровень §1 — 1 .19 . Подробное решение §1 № 1 .19 по алгебре задачник для учащихся 7 класса Базовый уровень, авторов Мордкович .
Подробный решебник по алгебре для 7 класса , авторов Арефьева, Пирютко . Качественные ГДЗ ко всем заданиям учебника на Решеба . Благодаря нашему решебнику, каждый школьник сможет изучить курс алгебры 7 класса, а подробные ответы помогут разобрать непонятные . .
ГДЗ (готовое домашние задание из решебника) на Задание №1 .19 по учебнику Алгебра . 7 класс . Часть 2 . Задачник для учащихся 7 класс . Часть 2 . Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А .Г . Мордкович и др . — 17-е издание . Мнемозина, -2020
ГДЗ Арефьева, Пирютко за 7 класс по Алгебре . Тип: Учебник . Издатель: Народная асвета 2019 год . Белорусские ГДЗ и Решебник за 7 класс по Алгебре поможет Вам найти верный ответ на самый сложный номер задания онлайн .
1 .19 . 1 .20 . 1 .21 .
Онлайн решебник и ГДЗ по алгебре для 7 -го класса к новому учебнику 2020 года, авторов Арефьева И . Г ., Пирютко О . Н . с подробными С переходом в 7 класс, ученики сталкиваются с тем, что привычная математика начинает включать в себя сразу две, довольно серьезные . .
Решенное задание 1 .19 из учебника Мордковича 7 класс по алгебре бесплатно с пояснениями . Популярные решебники 7 класс Все решебники .
Арефьева И .Г ., Пирютко О .Н . Решебник (ГДЗ ) по Алгебре за 7 (седьмой ) класс авторы: Арефьева, Пирютко издательство Народная асвета, 2019 год .
Задача №19, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Макарычева . Ответы из решебника . Макарычев, Миндюк, Нешков . 1 . Выражения . Номер №19 .
Готовые домашние задания по математике седьмой класс учебник Мордкович . Детальные ГДЗ с ходом решения . ГДЗ (решебники) -> 7 класс -> А .Г . Мордкович «Алгебра » 7 класс .
О сервисе Прессе Правообладателям Связаться с нами Авторам Рекламодателям .
.
ГДЗ по алгебре 7 класс , авторы: , Арефьева И .Г ., Пирютко О .Н ., Народная асвета 2020-2021 год . Глава 1 . Упражнения .
Онлайн решебники по Алгебре для 7 класса , гдз и ответы к домашним заданиям . Да и на контрольных и самостоятельных работать ребенку будет гораздо проще справляться с заданиями, если дома он уже подготовился и решил несколько аналогичных примеров .
Задание № 1 .19 — Алгебра 7 класс (Мордкович) . Посмотрел видео? Пройди тест: Пройди тест . Письменное решение . Другие номера . В задании 1 .19 нас даны выражения с переменными и нужно найти значение выражения при определенном значении переменных .
Готовое домашнее задание – это далеко не только ресурс для списания . Большинство подобных пособий, в том числе и по задачнику А .Г . Мордковича ФГОС за 7 класс , содержат не только правильные ответы на любой номер, но и решение заданий .
ГДЗ По Английскому 8 Класс Рэйнбов Инглиш
ГДЗ По Алгебре 8 Класс Макарычев Ю
ГДЗ Арифметика 5 Класс
ГДЗ По Англ Класс Афанасьева
ГДЗ По Англ Яз 10 Класс Биболетова
Решебник По Геометрии Макарычев
ГДЗ Задачник По Математике 1
ГДЗ Матем Задача
Решебник Геометрия 8 Класс Мерзляк Дидактический
ГДЗ Стр 86 3 Класс
ГДЗ По Англ 6 Класс
ГДЗ Химия 8 Рт По
ГДЗ По Русскому Языку 6 Класс 2020
ГДЗ По Математике 4 Миракова Учебник
ГДЗ По Русскому 7 Баранова Ладыженская
ГДЗ Семакин 11 Класс
ГДЗ По Русскому 3 Класс Рт
ГДЗ 5 Класс По Русскому Языку Баранов
Аргинская Математика 2 Класс Решебник Часть
Решебник Математике 2 Башмакова
Рабочая Тетрадь Моро ГДЗ 1
ГДЗ По Математике 4 Класс Дорофеев Тетрадь
ГДЗ Matrix 7 Класс Учебник
Решебник По Английскому Языку Student’s Book
Климанова Бабушкина Русский Язык 3 Решебник
ГДЗ 11 Класс Алгебра Никольский Потапов
ГДЗ 2 Класс 2014
ГДЗ Решебник 3 Класс
ГДЗ По Алгебре 8 Класс Глазков
ГДЗ По Биологии 8 Класс Сарычева
Математика ГДЗ Учебник 2 Часть Виленкин
ГДЗ По Математике Учебник Страница 90
ГДЗ По Математике 8 Класс Миндюк Макарычев
ГДЗ Нова Програма 8 Класс
Решебник По Русскому 2 Рабочая Тетрадь
География 7 Класс Климанова Климанов Ким ГДЗ
Окружающий Мир 2 Готовое Домашнее Задание
Английский Язык 10 Класс Spotlight ГДЗ 2020
ГДЗ По Англ Языку 10 Класс Биболетова
ГДЗ Сольфеджио Рабочая Тетрадь Калинина
Готовые Домашние Задания По Окружающему 2
Решебник По Физике Исаченкова
Математика 6 Класс Мерзляк ГДЗ Номер 21
ГДЗ По Русскому 6 2008
ГДЗ Математика Страница 87
Афанасьева 9 Класс Решебник
Решебник Немецкий 10 Бим
ГДЗ По Русскому Языку Репкина
ГДЗ Математика 4 Класс Страница 66
ГДЗ Информатика 10 Поляков Углубленный
ГДЗ По Русскому Языку 4 21 Век
ГДЗ По Географии 7 Класс Учебник Ким
Потапов Никольский 6 Класс Ответы ГДЗ
ГДЗ По Литературе Виноградская
ГДЗ По Физике 7 8 9 Класс
ГДЗ по математике 2 класс учебник Моро, Волкова 1 часть
- Тип: ГДЗ, Решебник.
- Автор: Моро М. И., Волкова С. И., Бельтюкова Г. В.
- Год: 2020.
- Серия: Школа России (ФГОС).
- Издательство: Просвещение.
Решебник — страница 29Готовое домашнее задание
Номер 1.
В коробке было 10 карандашей. Когда из коробки взяли несколько карандашей, в ней осталось 6 карандашей. Сколько карандашей взяли? Рассмотри краткую запись и схематический чертеж к задаче. Объясни, как составлен этот схематический чертеж. Реши задачу.
Ответ:
10 – 6 = 4 (к.) – взяли.
Ответ: 4 карандаша.
Схема составлена так, что нам известно первое слагаемое – 6 (количество оставшихся карандашей в коробке) и 10 (сколько карандашей в коробке было). Найти нужно количество взятых карандашей.
Номер 2.
У Тани несколько значков. Она подарила 2 значка подруге, и у нее осталось 5 значков.
Сколько значков было у Тани?
1) Какой схематический чертеж подходит к этой задаче?
2) Составь по другому чертежу задачу, реши ее.
Ответ:
2 + 5 = 7 (зн.) – было у Тани.
Ответ: 7 значков.
1) К этой задаче подходит первый схематический чертеж.
2) У Тани было 7 значков. Она подарила 2 значка подруге.
Сколько значков осталось у Тани?
7 – 2 = 5 (зн.) – осталось у Тани.
Ответ: 5 значков.
Номер 3.
Начерти 2 отрезка: длина первого 6 см, а второго на 20 мм меньше. Чему равна длина второго отрезка в миллиметрах?
Ответ:6 см = 60 мм 60 – 20 = 40 мм 40 мм — длина 2 отрезка
Номер 4.
Ответ:
18 – 9 + 6 = 15 9 + 5 – 4 = 10 11 – 7 + 8 = 12 13 – 8 + 5 = 10
Номер 5.
Ответ:
9 + 9 – 1 = 17 19 – 9 + 1 = 11 90 + 9 – 1 = 98 8 + 8 – 1 = 15 28 – 8 + 2 = 22 80 + 8 – 1 = 87 7 + 7 – 1 = 13 37 – 7 + 3 = 33 70 + 7 – 1 = 76 6 + 6 − 1 = 11 46 – 6 + 4 = 44 60 + 6 – 1 = 65
Номер 6.
Продолжи запись двузначных чисел.
Ответ:
Задание внизу страницы
Ответ:
40 + 9 + 1 = 50 17 − 7 + 5 = 15
Задание на полях страницы
Цепочка:
Ответ:
15 − 8 = 7 7 + 10 = 17 17 − 9 = 8 8 + 4 = 12 12 − 7 = 5 5 + 6 = 11
Рейтинг
Выберите другую страницу
1 часть
| Учебник Моро | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 |
|---|
2 часть
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 |
|---|
12 математических приемов, которые помогут вам решать задачи без калькулятора | by Andrew Jamieson
Разработайте это в уме
Photo by Crissy Jarvis на Unsplash1.
ДополнениеПервый прием — упростить задачу, разбив ее на более мелкие части. Например, мы можем переписать
567 + 432
= 567 + (400 + 30 + 2)
= 967 + 30 + 2
= 997 + 2
= 999
Часто проще работать с Switch’
4 добавив меньшее число, поэтому вместо 131 + 858 поменяйте местами числа
858 + 131
= 858 + 100 + 30 + 1
= 989
2. Вычитание
Использование дополнения числа может облегчить вычитание. Дополнение — это разница между исходным числом и круглым числом, скажем, 100, 1000.
Вот несколько примеров сравнения числа и его дополнения со 100:
67:33, 45:55, 89:11, 3 :97
Обратите внимание, что вторые цифры в сумме составляют 10, а первая цифра в сумме составляет 9.
Вот как это может быть полезно
721–387
# дополнение 87 равно 13, поэтому мы можем поменять местами 387 на 400 – 13
-> 721 — (400 - 13)
= 321 - -13
= 321 + 13
= 334
Другой способ — записать большее число так, чтобы оно оканчивалось на 99.
Тот же пример:
721 -> (699 + 22)Photo by Chris Liverani on Unsplash
= 699 – 387 + 22
= 312 + 22
= 334
3. Одиннадцать
Для двузначного числа сложите цифры и поместите ответ в середине числа, которое вы умножаете:
35 x 11
-> 3 _ 5
-> 3+5 = 8
-> 3 8 5
Если сумма больше 10, добавьте разряд десятков в следующий столбец слева , и запишите цифру единиц в ответе. Например, 4+8 = 12, запишите 2 и перенесите 1 в следующий столбец.
48 x 11
-> 4_8
-> 4+8 = 12
-> 4,12,8
-> 528
Процесс немного сложнее для трехзначных и более чисел, но он работает аналогичным образом. На этот раз сохраните первую и последнюю цифры и просуммируйте цифры парами
725 X 11
-> 7__5
-> 7_,(7+2=9), (2+5=7), _5
-> 7975 51973 x 11
-> 5__3
-> 5_,( 5+1=6),(1+9=10), (9+7=16), (7+3=10), _3
# где сумма больше десяти, мы перемещаем цифру десятков в следующий столбец
-> 5,(6+1),(0+1),(6+1),(0),3
-> 571703
4.
ДевяткиУмножение на девятки можно упростить, умножив на 10 и вычитание исходного числа
799 x 92
= 4200 + 25
= 4225
6. Метод сближения
Аналогичный метод работает для умножения близких друг к другу чисел. Формула работает для всех чисел, но она не упрощается, если числа не похожи.
Вот формула. n — «базовое» число
(n+a)(n+b) = n(n + a + b) + ab
Пример:
47 x 43
= (40 + 7)(40 + 3)
= 40 х (40 + 3 + 7) + (7 х 3)
= (40 х 50) + (7 х 3)
= 2000 + 21
= 2021
В этом примере сумма единиц составляет десять, поэтому наше «базовое» число и множитель — круглые числа (40 и 50).
Вот еще один пример. Уменьшите меньшее число, чтобы получить ближайшее круглое число — наше базовое число, в данном случае 40. Добавьте разницу к большему числу. Умножьте основание и большее число. Наконец, добавьте произведение разницы между исходными числами и базовым числом.
47 х 42
= (40 + 7) х (40 + 2)
= (40 + 7 + 2) х 40 + (7 х 2)
= (49 х 40) + (7 х 2)
= (40 х 40) + (40 х 9) + (7 х 2)
= 1600 + 360 + 14
= 1974
Можно также округлить до основания. Поскольку исходные числа меньше основания, мы добавляем произведение двух отрицательных чисел.
47 х 42
= (50 х 39) + (-3 х -8)
= (50 х 30) + (50 х 9) + (-3 х -8)
= 1500 + 450 + 24
= 1974
Это работает и для трехзначных чисел. В этом случае основное число находится между нашими числами, поэтому произведение является отрицательным числом.
497 х 504Photo by Sandro Schuh на Unsplash
= (500 – 3) х (500 + 4)
= (500) х (500 + 4 – 3) + (-3 х 4)
= 500 х 501 – 12
= 250 000 + 500 – 12
= 250 488
7. Упрощение вычислений
Вы можете упростить некоторые уравнения еще до того, как начнете. Например, разделить и делитель, и делимое на два.
898 / 4
= 449 / 2
= 224 и ½
Обратите внимание, что при использовании этого метода остаток нужно записать в виде дроби:
898/4 имеет остаток 2 — делится на 4
449/2 имеет остаток 1 — делится на 2
Дробь та же, но абсолютное число другое.
При делении на 5 измените уравнение, умножив на 2. Гораздо проще делить на 10. Например:
1753/5
= 3506 / 10
= 350,6
8. Признак делимости 9004
Есть много способов быстро определить, является ли число фактором.
2 : Число четное.
Пример: 28790 четное число, поэтому оно делится на 2.
3 : Сумма цифр делится на 3.
Пример: 1281 -> 1+2+8+1 = 12
-> 12 кратно 3, поэтому 1281 делится на 3
4 : Последние две цифры делятся на 4. Почему это работает? 100 кратно 4, поэтому нам нужно проверить только две последние цифры.
Пример: 1472, 72 делится на 4, поэтому 1472 делится на 4.
5 : Число оканчивается на 5 или 0.
Пример: 575 оканчивается на 5, поэтому оно делится на ноль
6 : Число четное, сумма цифр делится на 3 6 — это 3 x 2, поэтому применяются правила 2 и 3.
Пример: 774 четно и 7+7+4 = 18
-> 18 делится на 3, поэтому 774 делится на 6. заканчивается нулем. Отбросьте последнюю цифру с нулем и повторите процесс. Продолжайте, пока не сможете определить, делится ли результат на 7.Пример: 2702 добавить 98 (7 x 14) -> 2800, отбросить нули
-> 28 кратно 7, поэтому 2702 делится на 7.8 : Последние три цифры делятся на 8
Пример: 79256, 256 делится на 8, поэтому 79256 делится на 8. (Альтернативное правило: если цифра сотен четная , последние 2 цифр делятся на 8, если цифра сотен нечетная , последние 2 цифр + 4 делятся на 8)9 : То же правило, что и для 3, но с 9.
Пример: 13671 -> 1+3+6+7+1 = 18
-> 18 делится на 9, поэтому 13671 делится на 910 : Число оканчивается на 0.
Пример: 280 оканчивается на 0, 280 делится на 10110010 Аналогичное правило до 3 и 9, начните с правой цифры и попеременно вычитайте и добавляйте оставшиеся цифры. Если ответ равен нулю или кратен 11, то число делится на 11.
Пример: 12727 -> 1 - 2 + 7 - 2 + 7 = 11, поэтому 12727 делится на 11.Вы можете ознакомиться с некоторыми дополнительными методами здесь.
9. Деление больших чисел на 9
Пример:
-> 10520/9Напишите первую цифру над уравнением и напишите «R» (для остатка) над последней цифрой. Добавьте число, которое вы только что написали, и число по диагонали ниже и справа от него. Запишите это новое число во втором месте. Добавьте это число к числу по диагонали ниже и справа. Продолжайте этот процесс, пока не дойдете до R.
Суммируйте числа одного цвета, чтобы получить следующую цифру.Наконец, добавьте последнюю цифру к числу под буквой R, чтобы получить остаток.
10520/9
= 1168 R8
или 1168,889Вот еще пример:
-> 57423/9внизу и справа больше десяти (5+7=12). Ставим единицу над первой цифрой и вычитаем девять оттуда. (Мы делим по основанию девять, поэтому мы вычитаем девять, а не десять). Поместите полученное число на вторую позицию (12–9 = 3). Продолжайте тот же процесс.
В этом примере остаток больше 9 (9+3 = 12). Снова переносим единицу выше предыдущей цифры и вычитаем девять из остатка, оставляя три. Теперь добавьте результат и цифры переноса.
57423 / 9Фото Элисон Панг на Unsplash
= 6380 R3
или 6380,33310. Переверните вопрос
Проценты являются ассоциативными, поэтому иногда обратный порядок вопросов облегчает вычисления.
Пример:
36% от 25
-> равно 25% от 36
-> 25% равно ¼
-> 36/4 = 9
36% от 25 равно 911.
Как вы можете видеть, использование ¼ в последнем примере помогает узнать дроби и то, как они связаны с процентами.
1/2 = 50 %1/3 = 33,33 %, 2/3 = 66,67 %, 1/4 = 25 %, 3/4 = 75 %1/5 = 20 %, 2/5 = 40 % …1 /6 = 16,67%, 5/6 = 83,33% (2/6 = 1/3, 3/6 = 1/2, 4/6 = 2/3) 1/7 = 14,2857%, 2/7 = 28,5714% , 3/7 = 42,8571 %, 4/7 = 57,1428 % (обратите внимание на повторяющийся шаблон 0,142857) 1/8 = 12,5 %, 3/8 = 37,5 %, 5/8 = 62,5 %, 7/8 = 87,5 %1 /9= 11,11 %, 2/9 = 22,22 %, 3/9 = 33,33 % … 1/10 = 10 %, 2/10 = 20 % … 1/11 = 9,09 %, 2/11 = 18,18 %, 3/11 = 27,27% …1/12 = 8,33%, 5/12 = 41,67%, 7/12 = 58,33%, 11/12 = 91,67%12. Правило 72
Правило 72 позволяет оценить, сколько лет потребуются инвестиции, чтобы удвоить стоимость при заданном процентном доходе. Он работает путем деления 72 на процент, а ответом является количество лет, которое потребуется, чтобы удвоиться.
2% -> 72/2 = 36, примерно 36 лет, чтобы удвоить
8% -> 72/8 = 9, примерно 9 лет, чтобы удвоитьОбратите внимание, что правило 72 является ориентиром, основанным на натуральном логарифме 2, что дает 0,693.
Существует также правило 114 для утроения инвестиций и правило 144 для четырехкратного увеличения ваших денег.
Я нашел две книги Артура Бенджамина, которые могут быть полезными по этой теме. Многие примеры в этом блоге были вдохновлены этими книгами. Вы можете проверить их здесь.
Магия математики: нахождение x и выяснение почему
Купить Магия математики: нахождение x и выяснение почему на Amazon.com ✓ БЕСПЛАТНАЯ ДОСТАВКА для квалифицированных заказов
www.amazon.com
Пожалуйста, оставьте комментарий, если вы нашли это полезным, или поделитесь другими полезными приемами, с которыми вы столкнулись.
Может ли изучение алгебры в мои 60 сделать меня умнее? | Книги
Я не вижу, как это может повредить мне сейчас, если я скажу, что сдал математику в старшей школе только потому, что сжульничал.
Когда я читал Memories, Dreams, Reflections , я чувствовал родство с Карлом Юнгом, который описывал урок математики как «чистый ужас и пытку», так как он был « amathematikos », что означает что-то вроде нематематического. Я по натуре самосовершенствуюсь. Я читал Гиббона, я читал Пруста. Я читал Ветхий и Новый Заветы и большую часть Шекспира. Я изучал французский. Я медитировал. Я побежал.
Я мог бы пойти на урок, но я уже провалил урок по математике. Кроме того, я не хотел беспокоиться о том, чтобы идти в ногу с классом или замедлять его, потому что я все время держал руку в воздухе.
Пропустив меня, талант к математике экстравагантно сконцентрировался у одной из моих племянниц, Эми Уилкинсон, профессора Чикагского университета, и я решил, что она сможет научить меня.
«Как вы думаете, как все пойдет?» — спросил я Эми.
«Если бы мне пришлось гадать, я бы сказал, что вы, вероятно, слишком много думаете».
«Как так?»
«Х — полезная вещь. Я могу решить это — я могу манипулировать этим — и я слышу, как вы говорите: «Что это означает ?»
«Неужели я так ною?»0383 означает ?»
«Это символ, который обозначает то, что вы хотите, чтобы он обозначал».
«Что, если я не знаю, что я хочу, чтобы это означало?»
«Видите, вот о чем я говорю».
«Ну, подождите, это…»
«Вот вам совет», — твердо сказала она. «Я понимаю, что вы пытаетесь поместить вещи в рамки, которые вы можете понять. Это нормально, но сначала, пока вы не освоитесь с формальной манипуляцией, вы должны быть как ребенок».
Учитель математики Алека Уилкинсона, его племянница Эми Уилкинсон — профессор математики Чикагского университета. Фотография: Джессика ВиннЧтобы подготовиться к нашей встрече, Эми предложила мне прочитать Алгебра для чайников , которую я едва начал, как до меня дошло, что неважно, для кого она предназначена, это все равно алгебра.
Когда я подумал, что прочитал достаточно, я отправился в Чикаго, чтобы увидеть Эми. Я сидел рядом с ней на диване в ее гостиной. Я держал карандаш и блокнот наготове. Я вел себя как послушник в свой первый день в монастыре, готовый к тому, чтобы старший монах открыл, как найти Бога. Она сказала: «Я не знаю, с чего начать». Я ожидал, что она скажет что-то вроде: «В Омахе есть поезд, направляющийся в Даллас и отходящий в три часа дня». Вместо этого мы сидели молча. Залаяла собака. Я слабо улыбнулась.
Некоторые ученые верят, что адепт усваивает предмет менее эффективно, чем тот, кто его изучает или только что закончил.
Дальнейшее осложнение заключается в том, что то, что трудно для меня, не было сложно для нее, и я не думаю, что она могла понять, почему мне было так трудно выучить то, что она нашла простым.
Мне нужно научиться учиться. В школе от вас ожидают, что вы будете учиться, но не учат, как учитьсяМы не часто сталкиваемся с пределами нашего интеллекта, но то, как я боролся с алгеброй, иногда заставляло меня задуматься, не нахожу ли я свое собственное . В такие моменты я чувствовал себя плохо оснащенной версией человеческой возможности, своего рода отбросом.
Иногда я понимал, что разговариваю с разными частями себя, и обмен мнениями был невежливым. Иногда я хорошо справлялся с операциями, которые поначалу были трудными. Это произошло с факторингом, процессом упрощения выражений в алгебре, и с расширением, противоположным факторингу. Аксиомы арифметики подразумевают, что если вы разложите (a + b) 2 , например, вы получите a 2 + 2ab + b 2 следующим образом: (a + b) 2 равно (а + б) (а + б). Каждое слагаемое в одной скобке умножает слагаемое в другой: a × a = a 2 ; а × б = аб; б × а = аб; б × б знак равно б 2 . Объединяя термины, a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
По мере того, как формулы усложнялись, становилось больше шагов, каждый из которых следовал за предыдущим, так что помимо нахождения ответа было еще и удовольствие от правильного выполнения процедуры, плюс ни один учебник не пропускал шаги. Каждый раз, когда я переворачивал страницу и видел больше факторинга, я был доволен. Это было похоже на хорошее правописание и желание, чтобы у него спросили больше слов. Однако мое удовольствие сопровождал голос, говорящий: «Слушай, Слик, это алгебра для детей. Мы можем подбросить вам проблемы, вы даже не будете знать, что они означают».
Иногда мне снилось, что числа падают с неба в пропасти, дна которых я не вижу.
По мере того, как я прогрессировал, мой глаз развивался, и я не только решал задачи по алгебре, понимая их структуру, но и стал лучше читать вопросы. Однако, чтобы стать лучше, я должен был стать бдительным. Для того, кто думал, что есть более короткие пути к обучению, это было нежелательно. Я никогда не понимал, что учиться нужно терпеливо. Можно нетерпеливо учиться или учиться вообще, но это вопрос темперамента. Я должен научиться учиться. В школе ожидают, что ты будешь учиться, но не учат, как учиться, по крайней мере, в моем детстве.
Я привык запоминать услышанное и рисовать на этом. Однако изучение алгебры требует вторичного использования информации, сортировки и ссылки, повторения опыта, так что это действительно опыт. С алгеброй я не просто собираю информацию, я должен ее классифицировать и осмыслить. Мы делаем это естественно, будучи детьми в классах, отчасти потому, что далекое будущее кажется так, как будто оно никогда не наступит, но совсем другое дело быть старше и чувствовать, что наш капитал времени безжалостно уменьшается.
Краткое руководствоКак перезагрузить интерес к математике
ШоуМысль о возвращении к математике, вероятно, кажется утомительной. К счастью, дни бесконечных упражнений и красных чернил остались позади.
Один из хороших способов возродить интерес к предмету — это послушать, как люди с энтузиазмом говорят о нем. Среди многих превосходных математических подкастов « Mathematical Objects » Кэти Стеклз и Питера Роулетта выделяются своей доступностью и увлекательностью. Каналы YouTube, такие как Numberphile и 3Blue1Brown, также разбивают глубокие математические темы на понятные фрагменты; для обучения в более структурированном виде трудно пройти мимо Академии Хана — ее онлайн-курсы переходят от дошкольного обучения к линейной алгебре.
Если вы заинтересованы в дальнейшем изучении математики, прочтите книгу Вики Нил Зачем изучать математику? — это важный путеводитель по математике в университете.
Если вы пытаетесь не отставать от того, что дети делают в школе, «Математика для мам и пап » Роба Иставэя одинаково хорошо подходит как для родителей, так и для тех, кто не является родителями. Но лучший способ получить удовольствие от математики — заниматься ею в свое удовольствие. Найдите головоломки, которые вам нравятся. Или сделайте это социальным, найдя местный MathsJam — ежемесячные встречи в пабах для энтузиастов, которые проходят в городах по всей Великобритании. Колин Беверидж
Колин Беверидж — автор нескольких популярных книг по математике, в том числе «Основы математики для чайников»
Было ли это полезно?
Считается, что способность к изучению математики снижается примерно к 40 годам, когда мозг начинает замедлять обработку процедурных операций, таких как вычисления. Пожилые люди учатся и забывают примерно в том же темпе, что и молодые, но вычисление занимает у них в два раза больше времени. В статье «Приобретение навыков умственного счета во взрослом возрасте» Нил Чарнесс и Джейми Кэмпбелл говорят, что люди среднего возраста работают так же, как и пожилые, но если они тренируются, то успевают больше, чем молодые люди.
Если скорость ценится больше, чем точность, очевидно снижение способностей. Если точность ценится больше, чем скорость, снижение будет менее очевидным и, возможно, даже не очень выраженным. Молодые люди, как правило, читают быстрее, чем пожилые. Пожилые люди, как правило, запоминают больше прочитанного.Сканирование мозга показывает, что пожилые люди задействуют больше своих способностей для решения проблемы, чем молодые. Строительная теория старения и познания утверждает, что мозг реагирует на снижение активности рекрутированием помощи, то есть заменой реакции, обычно связанной с одной областью, паттерном многоуровневых реакций, затрагивающих несколько областей. «Гарольд» — это аббревиатура от «уменьшение полушарной асимметрии у пожилых людей», форма пластичности мозга. Я знаю об этом из исследовательской статьи Джина Коэна «Креативность и старение». Коэн говорит, что мозг пожилых людей может задействовать области, которые обычно имеют одну функцию, для взаимодействия с другой функцией, что называется билатерализация.
Коэн уподобляет это движению мозга, возможно компенсаторно, «полному приводу». Кэрол Д. Рифф из Института старения Университета Висконсина рассказала мне о теории воплощения стереотипов, предложенной психологом из Йельского университета Беккой Леви. В нем говорится, что культура представляет пожилых людей медленно двигающимися, плохо слышащими, говорящими слишком громко и неспособными читать мелкий шрифт. Эти изображения забавны, когда мы молоды; затем мы стареем и принимаем их, и они подрывают чувство благополучия человека. «Однако есть определенные области, в которых с возрастом становится лучше, — сказал мне Рифф. «У вас не будет 22-летнего психотерапевта-вундеркинда. Большинство блестящих теорий Фрейда не появились до его 50-летнего возраста». Я сказал Риффу, что пытаюсь выучить математику и что у меня аллергия на математику. «Кто-то с математической тревогой, в более позднем возрасте, с другой точки зрения, может действительно проявить себя и открыть что-то новое», — сказала она.
Разделив дробь 7/2 на 2, я перепутал свойства показателей степени, и подумал, что произведение равно 7, так как 7 × 2 = 14 и 14/2 = 7, тогда как на самом деле ответ 7/4, так как делить дробь на 2 это то же самое, что умножать на 1/2, но я дал неверный ответ и разозлился на математику и позвонил Эми, и она не разговаривала со мной, пока я не успокоился. Она тоже не всегда была спокойной. Однажды я услышала, как Бенсон, ее муж, на заднем плане сказал: «Почему ты на него кричишь?» Когда я слишком истощал терпение Эми, я звонил Дину Янгу, моему другу, профессору математики в Нью-Йоркском университете.
«То, как вы помните процедуры, так это то, что вы помните, почему», — сказал он.
«Почему?»
«Потому что люди изучают математику как набор процедур», — сказал он. «Когда все становится сложно, они теряются, и математика становится уроком религии. Учитель говорит, что правильно, а что нет, и, насколько вам известно, математика пришла с неба, и какой-то пророк сказал вам, как это сделать, и тогда это просто слепая вера.
«С математикой нужно быть очень, очень дисциплинированным», — сказал Дин. «Обычно в алгебре вы пытаетесь сделать что-то сложное проще, но часто на время вам приходится это усложнять. Единственный способ быть должным образом дисциплинированным — это точно помнить, что вам разрешено делать, а что — нет. Вы должны записать все, строчка за строчкой. Математика кропотлива». Эти замечания имели для меня силу почти дзенскую. Они были одновременно и абстрактными, и практичными, они говорили о моем горе, и на какое-то время все стало лучше.
Я закончил алгебру, мучимый чувством, что должен решить каждую задачу правильно. Я начал с надеждой и был задушен. Чего я желал, так это видеть алгебру рациональной и связанной, а следовательно, доброкачественной, чтобы я мог избавиться от тайны, которую она оставила мне.
Расширение интеллектуальных возможностей не является тем обстоятельством, которое человек может определить эмпирически. Ощутить это можно только в себе. Я чувствовал, что начинаю меняться в какой-то степени, может быть, только поверхностно, но я также чувствовал, суеверно, что признание этого может быть проявлением гордыни, что может привести к тому, что оно будет отозвано каким бы то ни было агентством, которое таится внутри суеверного моральные установки. Так или иначе, я закончил алгебру, я дошел до конца учебника. Это заняло пять месяцев, а не шесть недель. Тем не менее, я многому научился, у меня появились некоторые новые навыки, пусть и элементарные. Я мог делать то, чего не умел, и был доволен. Достижение не было существенным, но оно было моим собственным, и я работал над ним.
Если сумма цифр делится на 9, то число делится на 9.
Дроби
Таким образом, правило 69,3 было бы более точным, но 72 легче вычислить.
Я мог складывать и вычитать, умножать и делить, но попал в глушь, когда слова превратились в уравнения. В контрольные дни я сидел рядом с умными мальчиками и девочками, чей почерк я мог читать, и распределял свое внимание между его или ее партой и глазами учителя. Чтобы сдать Алгебру II, я скопировал курсовую работу и чуть не попался. К тому времени я ходил в школу для мальчиков, и это заставляет меня задуматься о том, что меня, возможно, выгнали, и мне пришлось начать другую жизнь, зная других людей, имея другой опыт и, в конце концов, стирая человека, которым я являюсь сейчас.
Я научился рисовать, используя правое полушарие мозга. Несколько лет назад я решил посмотреть, смогу ли я выучить простую математику, подростковую математику, которую в 18 веке называли чистой математикой: алгебру, геометрию и исчисление. Я не понимал, почему это было так тяжело. Неужели я только что отстал и так и не догнал? Я был недостаточно умен? Был ли я каким-то образом неспособен изучить логическую, сложную и систематизированную дисциплину? Или способность изучать математику была такой же, как и любой другой атрибут, скажем, талант к музыке? Вместо глухоты к математике я был глух к математике? А если бы я не был и мог бы исправить этот недостаток, на что я мог бы быть способен в 65 лет, на что не был способен раньше? Я представлял себе математику пейзажем, а себя как бы созерцающим путешествие, из которого я мог бы вернуться подобно Марко Поло, увидев странные зрелища и с невообразимыми воспоминаниями.
Я не хотела класс для пожилых людей, потому что не хотела, чтобы со мной разговаривали снисходительно – и веселее, чем в обычной жизни, как с тобой разговаривают медсестры и стюардессы. Я мог бы посидеть в классе отстающих, в корректирующем классе, но их нелегко найти. Однажды днем я договорился занять стул на уроке алгебры в моей старой школе, где вокруг меня бегали 12-летние дети. Учитель давал задачи в группах по пять человек, и к тому времени, как я закончил первую задачу, они все решили правильно. Они были вежливы в этом и побеждали в удовольствии, которое они получали, соревнуясь друг с другом, но было поразительно отметить, насколько быстрее они двигались, чем я. Мне казалось, что мы два разных вида.
Читая книгу, я с удивлением обнаружил, что почти ничего не помню из алгебры. Я заблудился так быстро, что мало что произвело впечатление. Я все еще могу прочитать пролог к Canterbury Tales на среднеанглийском языке, который я должен был выучить в старших классах средней школы. Я помню «царство, тип, класс, порядок, семейство, род, вид». И что в 585 г. до н.э. Фалес предсказал солнечное затмение. С алгеброй у меня ничего не получается.
Давнее знакомство адепта мешает ему или ей увидеть предмет в его более простых терминах или оценить, что значит подходить к предмету как новичок. Когда я с тревогой сел рядом с Эми, меня осенило, что я прошу математика с футляром для трофеев, пользующегося международным авторитетом, научить меня математике, которую она выучила почти полвека назад, будучи не по годам развитым ребенком, и с тех пор не использовала. Кроме того, она по большей части восприняла его интуитивно, а затем наслаила на него множество других практик, исследований и развлечений. У ее обучения было своего рода генеалогическое древо ассоциаций, и все, что у меня было, это то, что я усвоил по частям за несколько недель обучения. Что я мог бы сказать ей о своих трудностях, так это: «Представь, что ты ребенок, впервые получающий эту информацию. Можете ли вы вспомнить, как вы это услышали, чтобы это было для вас ощутимо?»
«Как, по-твоему, ты бы подумал об этом, если бы не был в состоянии думать об этом так, как думал?» — вот вопрос, который мне пришлось бы задать, и, будучи скорее философским, чем практическим, он не обсуждение, которое решило бы мои трудности. Возможно, я что-то узнал о ней, но вряд ли что-то о математике. В О доказательстве и прогрессе в математике Уильям Терстон пишет: «Передача понимания от одного человека к другому не происходит автоматически. Это сложно и сложно». Мы работали вместе с перерывами в течение нескольких недель, когда я понял, что мне придется многому научиться самостоятельно.
Мне также почти ежедневно напоминали, что некоторым вещам нужно учиться медленнее. Между тем, мое воспитание заставляло меня думать, что я должен работать быстро; любой наполовину умный человек мог бы решить проблему, если бы у него было достаточно времени. Мне было трудно сочетать эти взгляды.
Аналогичным образом, a 2 – b 2 , число в квадрате, вычитаемое из другого числа в квадрате, называемого разностью квадратов, становится (a – b)(a + b), которое становится 2 + ab. – ab – b 2 , то есть a 2 – b 2 . Просто, но мне очень понравилось.
Такое соображение добавляет осложняющую поспешность и нетерпение.
«Это также невероятно полезно для мозга».
Цель состоит в том, чтобы ответить на вопросы, которые кажутся сложными, и понять, что сложный вопрос можно разбить на более простые вопросы, на некоторые из которых можно ответить независимо друг от друга».
Если бы я был в состоянии сделать это, я бы использовал способы мышления, которые побуждали меня расширять свой интеллект — мою способность рассматривать проблемы, решения которых требуют управления символами, в чем я никогда не был хорош.