алгебра 9 класс | Рабочая программа по алгебре (9 класс):

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ

9 КЛАСС

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Цели изучения учебного предмета

Изучение алгебры в 9 классе направлено на достижение следующих целей:

• овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
• интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений, способность к преодолению трудностей;
• формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;
• воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно-технического прогресса;
• развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач математики и смежных предметов (физика, химия, основы информатики и вычислительной техники), усвоение аппарата уравнений и неравенств как основного средства математического моделирования прикладных задач, осуществление функциональной подготовки школьников. В ходе изучения курса учащиеся овладевают приёмами вычислений на калькуляторе.

Общая характеристика учебного предмета

Алгебра 9 класса нацелена на формирование математического аппарата для решения задач из математики, смежных предметов, окружающей реальности. Язык алгебры подчеркивает значение математики как языка для построения математических моделей, процессов и явлений реального мира. Одной из основных задач изучения алгебры является развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса информатики; овладение навыками дедуктивных рассуждений. Преобразование символических форм вносит свой специфический вклад в развитие воображения, способностей к математическому творчеству. Другой важной задачей изучения алгебры является получение школьниками конкретных знаний о функциях как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных процессов (равномерных, равноускоренных, экспоненциальных, периодических и др.), для формирования у учащихся представлений о роли математики в развитии цивилизации и культуры.

Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования функциональной грамотности – умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах. При изучении статистики и теории вероятностей обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.

Таким образом, в ходе освоения содержания курса учащиеся получают возможность:

• развить представления о числе и роли вычислений в человеческой практике;
• сформировать практические навыки выполнения устных, письменных, инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру;
• овладеть символическим языком алгебры, выработать формально-оперативные алгебраические умения и научиться применять их к решению математических и нематематических задач;
• изучить свойства и графики элементарных функций, научиться использовать функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей;
• получить представления о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер;
• развить логическое мышление и речь – умения логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
• сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.

Рабочая программа составлена на основе федерального компонента государственного стандарта (основного) общего образования, примерной программы основного общего образования по математике, рекомендованной Министерством образования и науки РФ (приказ Минобразования России от 9 марта 2004 г. N 1312).

В программу внесены изменения в количество часов по изучаемым темам из резерва учебного времени для реализации авторских подходов, использования разнообразных форм организации учебного процесса, внедрения современных методов обучения и педагогических технологий.

Место предмета в учебном плане

Учебный план МОУ «Лицей № 7» отводит 136 часов для обязательного изучения учебного предмета «Алгебра» в 9 классе, из расчета 4 учебных часа в неделю.

Результаты обучения

Личностные:

— умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;

— критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта;

— представление о математической науке как сфере человеческой деятельности, об этапах ее развития, о ее значимости для развития цивилизации;

— креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач;

— умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

— способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений.

Метапредметные:

— первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов;

— умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни;

— умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять ее в понятной форме; принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации;

— умение понимать и использовать математические средства наглядности (графики, диаграммы, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

— умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;

— умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач;

— понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;

— умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем;

 — умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера.

Предметные:

— овладение базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания; представление об основных изучаемых понятиях (число, геометрическая фигура, уравнение, функция, вероятность) как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные процессы и явления;

— умение работать с математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии и символики, использовать различные языки математики, проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений;

— развитие представлений о числе и числовых системах от натуральных до действительных чисел; овладение навыками  устных, письменных, инструментальных вычислений;

— овладение символьным языком алгебры, приемами выполнения тождественных преобразований рациональных выражений, решения уравнений, систем уравнений, неравенств и систем неравенств; умение использовать идею координат на плоскости для интерпретации уравнений, неравенств, систем; умение применять алгебраические преобразования, аппарат уравнений и неравенств для решения задач из различных разделов курса;

— овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой; умение использовать функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей;

— овладение основными способами представления и анализа статистических данных; наличие представлений о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, о вероятностных моделях.

Общеучебные умения, навыки и способы деятельности

В ходе преподавания алгебры  следует обращать внимание на то, чтобы учащиеся овладевали умениями общеучебного характера, разнообразными способами деятельности, приобретали опыт:

— планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения заданных и конструирования новых алгоритмов;

— решения разнообразных классов задач из различных разделов курса, в том числе задач, требующих поиска пути и способов решения;

— исследовательской деятельности, развития идей, проведения экспериментов, обобщения, постановки и формулирования новых задач;

— ясного, точного, грамотного изложения своих мыслей в устной и письменной речи, использования различных языков математики (словесного, символического, графического), свободного перехода с одного языка на другой для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

— проведения доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и их обоснования;

— поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную литературу, современные информационные технологии.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ  (136 ч)

АЛГЕБРА (88 ч)

Уравнения и неравенства (42 ч)

Решение рациональных уравнений. Примеры решения уравнений высших степеней; методы замены переменной, разложения на множители.

Уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя переменными. Система уравнений; решение системы.

Уравнение с несколькими переменными. Примеры решения нелинейных систем. Примеры решения уравнений в целых числах.

Квадратные неравенства. Примеры решения дробно-линейных неравенств.

Решение текстовых задач алгебраическим способом.

 Числовые последовательности (18 ч) 

Понятие последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий.

Числовые функции (28 ч) 

Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции. График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства. Чтение графиков функций.

Квадратичная функция, ее график, парабола. Координаты вершины параболы, ось симметрии. Степенные функции с натуральным показателем, их графики. Графики функций: корень квадратный, корень кубический, модуль. Использование графиков функций для решения уравнений и систем.

Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы: колебание, показательный рост; числовые функции, описывающие эти процессы.

Параллельный перенос графиков вдоль осей координат и симметрия относительно осей.

Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и их систем, неравенств с двумя переменными и их систем.

ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ, КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (15 ч)

Статистические данные Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результатов измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки.

Понятие и примеры случайных событий.

Вероятность Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

ВВОДНОЕ И ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ (33ч)

Закрепление знаний, умений и навыков, полученных на уроках по данным темам (курс алгебры 7-9 класса).

В результате изучения алгебры в 9 классе ученик должен

знать/понимать

1. существо понятия математического доказательства;
2. приводить примеры доказательств;
3. существо понятия алгоритма; приводить примеры алгоритмов;
4. как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач;
5. как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;
6. как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;
7. вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов;
8. каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия; примеры геометрических объектов и утверждений о них, важных для практики;
9. смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации.

Алгебра

уметь

10. составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные;
11. выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители;
12. выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;
13. применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни;
14. решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы;
15. решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы,
16. решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи;
17. изображать числа точками на координатной прямой;
18. определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами; изображать множество решений линейного неравенства;
19. распознавать арифметические и геометрические прогрессии;
20. решать задачи с применением формулы общего члена и суммы нескольких первых членов;
21. находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей;
22. определять свойства функции по ее графику; применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств;
23. описывать свойства изученных функций, строить их графики;

       использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

24. выполнения расчетов по формулам, для составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; для нахождения нужной формулы в справочных материалах;
25. моделирования практических ситуаций и исследовании построенных моделей с использованием аппарата алгебры;
26. описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами, при исследовании несложных практических ситуаций;
27. интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами.

      Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей

      уметь

28. проводить несложные доказательства, получать простейшие следствия из известных или ранее полученных утверждений, оценивать логическую правильность рассуждений, использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для опровержения утверждений;
29. извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;
30. решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов и с использованием правила умножения;
31. вычислять средние значения результатов измерений;
32. находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;
33. находить вероятности случайных событий в простейших случаях;

      использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной    

      жизни для:

34. выстраивания аргументации при доказательстве и в диалоге;
35. распознавания логически некорректных рассуждений;
36. записи математических утверждений, доказательств;
37. анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц;
38. решения практических задач в повседневной и профессиональной деятельности с использованием действий с числами, процентов, длин, площадей, объемов, времени, скорости;
39. решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов;
40. сравнения шансов наступления случайных событий, для оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией;
41. понимания статистических утверждений.

МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

ПК, мультимедиапроектор, интерактивная доска, аудиторная доска с магнитной поверхностью.

Комплект инструментов классных: линейка, транспортир, угольник (300, 600), угольник (450, 450), циркуль.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

Основная учебно-методическая литература

Стандарт основного общего образования по  математике

Примерная программа основного общего образования по  математике

Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. – 15-е изд., дораб – М.: Просвещение. ФП № 1626

Дополнительная учебно-методическая литература и источники

Дидактические материалы по основным разделам курса алгебры (Сборники разноуровневых познавательных и развивающих заданий, обеспечивающих усвоение  математических знаний как на репродуктивном, так и на продуктивном уровнях).  

Контрольно-измерительные материалы по основным разделам  математики (Сборники заданий (в том числе тестовых), обеспечивающих диагностику и контроль качества обучения в соответствии с требованиями к уровню подготовки выпускников.

Уроки алгебры в 9 классе. / В.И. Жохов, Л.Б. Крайнева. Пособие для учителей. / М.: Вербум

Дидактические материалы по алгебре. 9 класс. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.М. Короткова

Разноуровневые дидактические материалы по алгебре. 9 класс. / Н.Г. Миндюк, М.Б. Миндюк

Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. Л.И. Звавич, Л.В.  Кузнецова, С.Б. Суворова

Контрольные и зачетные работы по алгебре.  9 класс. П.И. Алтынов

Тесты по алгебре. 9  класс.  П.И. Алтынов

Контрольные и проверочные работы по алгебре. 9 класс. Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, Б.В. Козулин

Основные Интернет-ресурсы

http://www.edu.ru – федеральный портал «Российское образование»

http://www.school.edu.ru – Российский общеобразовательный портал

http://www.еgе.edu.ru – портал информационной поддержки Единого государственного экзамена

http://www.school-collection.edu.ru – единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

Примеры 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

 

 

Тема: Системы уравнений

 

Урок: Примеры

 

 

1.

Решение задач с алгебраическим смыслом

 

 

Ранее мы уже составляли математические модели реальных ситуаций, но только те, которые описывались линейными системами. Сейчас мы научились решать нелинейные системы. Наша задача – научиться составлять математические модели с помощью нелинейных систем уравнений.

 

Задача 1. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найти эти числа.

Решение:

Первый этап – переведем словесную модель на математический язык. Пусть  x и y – искомые числа. По условию  

Эта нелинейная система представляет собой математическую модель реальной ситуации.

Второй этап – работа с математической моделью.

 

 

;

 

Ответ:

Обсудим связь полученной системы с квадратным уравнением. Воспользуемся теоремой Виета:

 

Это еще один способ решения системы.

Задача 2. Какое двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр и в 3 раза больше их произведения?

Решение:

Получим математическую модель. Пусть  искомое число, x и y его цифры.  сумма цифр искомого числа,  произведение цифр. Составим систему.

 

Число двузначное, т.е.

 

 

 

 

 

;

 

Ответ: 24.

Задача 3. Если к числителю и знаменателю дроби прибавить по единице, то дробь станет равна  А если сложить квадраты числителя и знаменателя исходной дроби, то получится 122. Найдите эту дробь.

Решение:

Пусть x – числитель дроби, y – знаменатель дроби,  – искомая дробь.

 

 

 

 (методом подбора)

( по т.Виета) – не подходит по условию задачи.

 

Ответ: .

 

2. Решение задач с геометрическим смыслом

 

 

Задача 4. Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см. Его гипотенуза равна 37 см. Найти площадь прямоугольного треугольника.

 

Решение:

Дан прямоугольный

Пусть x, y – катеты прямоугольного треугольника.

Тогда по условию задачи

 

Нам необходимо найти  поэтому отдельно находить x и y не нужно.

Возведем в квадрат обе части первого уравнения:

 

 

 

 

 

Ответ:

 

Задача 5. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 49 м, гипотенуза – 41 м. Найти площадь прямоугольного треугольника.

Решение:

Пусть x, y – катеты прямоугольного треугольника. Тогда

 

Возведем в квадрат обе части первого уравнения, получаем:

 

 

 

 

Ответ:

 

3. Заключение

 

 

Мы решили текстовые задачи, перевели русский язык на математический, получили нелинейные математические модели, решили их, и получили решения исходных задач. На следующем уроке мы рассмотрим задачи на движение.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 143, 146, 152, 164.

 

алгебраических выражений Математика 9 класс | Решения

 

Алгебраические выражения

Факторизация

коэффициенты, которые при перемножении дают исходное.

Некоторые важные формулы

a ²  — b ²  = (a-b)(a+b)

Разница в кубиках

A ³ — B ³ = (A — B) (A ² + AB + B ² )

Сумма кубиков

A ³ + B ^{3 3.}  = (a + b)(a ²  — ab + b ² )

Формула для (a+b) ²  и (ab) ³

2 0 

0 0 

2 0 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 a ²  + 2ab + b ²

(a — b) ²  = a ²  — 2ab +b ²

 

(A + B) ³ = A ³ + 3A ² B + 3AB ² + B ³

(A — B) ³ = A ³ — 3a ² b + 3ab ²  — b ³

Наибольший общий множитель и наименьшее общее кратное

Наибольший общий множитель расчитывается путем умножения всех множителей, представленных в обоих списках: Таким образом, HCF 60 и 72 равен 2 × 2 × 3, что равно 12. Наименьшее общее кратное вычисляется путем умножения всех факторов, которые встречаются в любом списке: Таким образом, НОК 60 и 72 равен 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, что равно 360.

Примеры

1. РАЗРЕШЕНИЕ В ФАКТЫ

2A (A-1) –A +1

Солн:

= 2A (A-1)-A + 1.

= 2A (а – 1) – (а – 1)

= (а – 1)(2а – 1)

 

mx ² + my ² – nx ² – nx ² – nx

90

0 2 :

mx ² + my ² – nx ² – ny ²

= m(x ² + y ² ) — N (x ² + Y ² )

= (x ² + Y ² ) (M — N)

2. Факторизация

64x. ⁶ – у ⁶ .

= (8x ³ ) ² — (Y ³ ) ²

= (8x ³ + Y ³ ) (8x ³ — Y ³ ) 9003

= = = 3 — Y ³ ) {(2x) ³ + (y) ³ }{(2x) ³ – (y) ³ }

= (2x + y)(4x ² – 2x + y ² )(2x – y)(4x ² + 2xy + y ² ).

= (2x + y)(2x – y)(4x ² – 2x + y ² )(4x ² + 2xy + y ² ).

Найдите H.C.F и L.C.M Следующих выражений

1 ^ST Expression = A ² +2AB +B ²

= (A +B) (A +B)

2 ^ND выражение = b ² -a ² +2BC +C ²

= B ² +2BC +C ² -a ²

= (B +C) ² -A ² 202

= (B +C +A) (B +C- A)

3 ^RD Expression = — B ² +A ² +2CA +C ²

= (A +C) ² — b ²

 = (a+c-b)(a+c+ b)

H.C.F = 1

L.C.M =(a+b)(a+b)(b + c + a)(b + с- а )(а+с-б)

 

3. Упростить

64x ⁶ – у ⁶ .

= (8x ³ ) ² — (Y ³ ) ²

= (8x ³ + Y ³ ) (8x ³ — Y ³ ) 9003

= = = 3 — Y ³ ) {(2x) ³ + (y) ³ }{(2x) ³ – (y) ³ }

= (2x + y)(4x ² – 2x + y 2^{2 )(2x – y)(4x 2 + 2xy + y 2 ).}

= (2x + y)(2x – y)(4x ² – 2x + y ² )(4x ² + 2xy + y ² ).

x ³ Y — 64Y ⁴

= Y (x ³ — 64y ³ )

= Y = y(x – 4y)(x ² + 4y + 16y ² )

 

Факторизация алгебраических выражений RD Sharma Class 9 Solutions

RD Sharma Class 9 Глава 5 Факторизация алгебраических выражений 5.10381

Factorize
Question 1.
x ³ + x – 3x ² – 3
Solution:
x ³ + x – 3x ² – 3
x ³ – 3a ² + x – 3
⇒  x ² (x – 3) + 1(x – 3)
= (x – 3) (x ² + 1)

Вопрос 2.
a(a + b) ³ – 3a ² b(a + b)
Решение:
a(a + b) ³ – 3a ² b(a + b)
= a(a + b) {(a + b) ² – 3ab}
= а(а + Ь) {а ² + b ² + 2ab – 3ab}
= a{a + b) {a ² – ab + b ² )

Вопрос 3.
x(x ^{3 9y 9020} ) + 3xy(x – y)
Решение:
x(x ³  – y ³ ) + 3xy(x – y)
= x(x – y) (x ² + xy + y ² ) + 3xy(x – y)
= x(x – y) (x ² + xy + y ² + 3y)
= x(x – y) (x ² + xy + y ² + 3г)

Вопрос 4.
a ² х ² + (ах ² +1)х + а
Решение:
а ² х ² + (ах ² + 1)х + а 02 х ^{= а 1 2 2 + a + (ax 2 + 1)x
= a(ax 2 + 1) + x(ax 2 + 1)
= (ax 2 + 1) (a + x) Вопрос 5} -х-ху + у = х(х-1)-у(*-1)
= (x — 1) (x — y)

Вопрос 6.
x ³ — 2x ² Y + 3xy ² — 6y ³
Решение:
x ³ — 2x ^2. у + 3ху ² – 6у ³
= х ² (х – 2у) + 3у ² (х – 2у)
= (х – 2у) (х 90 190 2 0 3 900 )

Вопрос 7.
6 ab – b ² + 12ac – 2bc
Решение:
6ab – b ² + 12ac – 2bc
= 6ab + 9ac – b
0019 2 – 2bc
= 6a(b + 2c) – b(b + 2c)
= (b + 2c) (6a – b)

Вопрос 8.
x(x – 2) (x – 4) + 4x – 8
Решение:
x(x – 2) (x – 4) + 4x – 8
= x(x – 2) (x – 4) + 4(x – 2)
= (x – 2) [ х(х – 4) + 4]
= (х – 2) (х ² – 4х + 4)
= (х – 2) [(х) ² – 2 х х х 2 + (2) ² ]
= (x – 2) (x – 2) ² = (x – 2) ³

Вопрос 9.
(a – b + c) ² + (b – c + a) ² + 2(a – b + c) (b – c + a)
Решение:
(a – b + c) ² + ( b- c+a) ² + 2(a – b + в) (b – c + a)      {∵ a ² + b ² + 2ab = (a + b) ² }
= [a – b + c + b- c + a] ²
= (2a) ² = 4a ²

Вопрос 10.
A ² + 2AB + B ² — C ²
Решение:
A ² + 2AB + B ² 20202020383 A ² + 2AB + B ² 2020202020333 A ² + 2AB + B ² 20202020333. – с ²
= (а ² + 2ab + b ² ) – c ²
= (a + b) ² – (c) ²          {∵  a ² – b 2 ^{a – b)}
= (a + b + c) (a + b – c)}

Вопрос 11.
a ² + 4b ² – 4ab – 4c ²
Решение:

2

2

2 Вопрос 12.
x ² – y ² – 4xz + 4z ²
Решение:
x ² – y ² – 4xz + 4z 29019 ⁰³⁸³ = х ² – 4xz + 4z ² – у ²
= (х) ² – 2 х х х 2z + (2z) 2 – 8 х х 2z + (2z) 2 – 8 х х 2 (у) 3 (у) 2900 2z) ² – (y) ²
= (x – 2z + y) (x – 2z – y)
= (x +y – 2z) (x – y – 2z)

Вопрос 13.

Решение:

Вопрос 14.

Решение:

Вопрос 15.

Решение:

Вопрос 16.
Выразите длину и ширину прямоугольника, имеющего 350019 2 + 13y – 12 как его площадь.
Решение:
Площадь прямоугольника = 35y ² + 13y – 12
= 35y ² + 28y- 15y- 12

(i) Если длина = 5y + 4, то ширина = 7y – 3

(ii ) и если длина = 7y-3, то длина = 5y+ 4

Вопрос 17.
Каковы возможные выражения для размеров прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 3x ² – 12x.
Решение:
Объем 3x ² – 12x
= 3x(x – 4)
∴ Факторы 3, x и x – 4
Теперь, если длина = 3, ширина = х и высота = х – 4
, если длина = 3, ширина = х – 4, высота = х
, если длина = х, ширина = 3, высота = х – 4
, если длина = x, ширина = x – 4, высота = 3
, если длина = x – 4, ширина = 3, высота = x
, если длина – x – 4, ширина = x, высота = 3

Вопрос 18.

Решение

Вопрос 1 ² – 20x
= (x + 2) (x ² + 25) – 10x(x + 2)
= (x + 2) [x ² + 25 – 10x]
= (x + 2) ) [(x) ² – 2 x x x 5 + (5) ² ]
= (x + 2) (x – 5) ²

Вопрос 20.

2a ² + 2\( \sqrt { 6 } \) ab +3b ²
Решение:
2a ² + 2\(\sqrt { 6 } \)  ab +3 b ²
= (\(\sqrt { 2 } \ ) а) ² + \(\sqrt { 2 } \) a x \(\sqrt { 3 } \) b+ (\(\sqrt { 3 } \) b) ²
= (\(\sqrt { 2 } \)a + \(\sqrt { 3 } \) b)2

Вопрос 21.
a ² + b ² + 2(ab + bc + ca)
Решение:
a ² + b ² + 2(ab + bc + ca)
= a ² + b ² + 2 ab + 2 bc + 2 ca
= (a + б) ² + 2с(б + а)
= (а + Ь) ² + 2с(а + Ь)
= (а + Ь) (а + Ь + 2с)

Вопрос 22.
4 (х – у) ² – 12(х-у) (х + у) + 9(х + у) ²
Решение:
4(x – y) ² – 12(x – y) (x + y) + 9(x + y) ²
= [2(x – y) ² + 2 x 2(x – y) x 3(x + y) + [3 (x+y] ²         {∵ a ² + b ²

+ 2 abc = (a + b) ² }
= [2(x – y) + 3(x + y)] ²
= (2x-2y + 3x + 3y) ²
= (5x + y) ²

Вопрос 23.
a ² – b ² + 2bc – c ²
Решение:
a ² — B ² + 2BC — C ²
= A ² — (B ² — 2BC + C ² ) {∵ A ² + B ² — 2ABC = (A A A — B) ² }
= A ² — (B — C) ²
= (A) ² — (B — C) ² {A ² — B ² = (a + b) (a – b)}
= (a + b – c) (a – b + c)

Вопрос 24.
xy ⁹ – yx ⁹
Решение:
XY ⁹ -YX = XY (Y ⁸ -x ⁸ )
= -xy (x ⁸ -Y ⁸ )

= -xy [x -Y ⁸ )
= -xy [x -Y ⁸ )
= -xy [x ^{-Y 8 )
= -xy 4} ) ² -(Y ⁴ ) ² ]
= -xy (x ⁴ + Y ⁴ ) (x ⁴ -Y ⁴ ) {∵ ² -Y ⁴ ) b ² = (a + b) (a – b)}
= -xy (x ⁴ + y ⁴ ) {(x ² ) ² -(Y ² ) ² }
= -xy (x ⁴ + Y ⁴ ) (x ² + Y ² ) (x ² -Y ² )
= -xy (x ⁴ +y ⁴ ) (x ² + y ² ) (x + y) (x -y)
= -xy(x – y) (x + y) (x ² + Y ² ) (x ⁴ + Y ⁴ )

Вопрос 25.
x ⁴ + x ² Y ²

+ Y ⁴
. х ⁴ + x ² Y ² + Y ⁴ = (x ² ) ² + 2x ² Y ² + Y ⁴ — X ² Y ² 2020202020202020 — X ² Y ^{20 + Y 4 — X 2 Y} + Y ⁴ — X ² Y + Y ⁴ — X ² . (Добавление и вычитание x ² Y ² )
= (x ² + Y ² ) ² — (xy) ² {a ​​ ² — B ² = (A A A ² — B ² = (A + б) (а – б)}
= (х ² + у ² + ху) (х ² + Y ² — xy)
= (x ² + xy + y ² ) (x ² — xy + y ² )

Вопрос 26.
x ² + 6\(\sqrt { 2 } \)x + 10
Решение:

Вопрос 27.