Алгебра 8 класс а г мордкович часть 2: ГДЗ по Алгебре 8 класс Мордкович — Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа № 1" п. Пуровск Пуровского района

Содержание

Поиск материала «Алгебра — 8 класс — Задачник

Ниже показаны результаты поиска поисковой системы Яндекс. В результатах могут быть показаны как эта книга, так и похожие на нее по названию или автору.

Search results:

Алгебра. 8 класс. Задачник — Мордкович А.Г. и др.
8 класс. Задачник — Мордкович А.Г. и др. Данное пособие предусматривает занятия с учащимися, проявляющими интерес и способности к математике. Целью работы в соответствующих классах является формирование у школьников устойчивого интереса к предмету, дальнейшее развитие их математических способностей, ориентация на профессии, связанные с математикой, на применение математических методов в различных отраслях науки и техники.
11klasov.net
Алгебра 8 класс. Задачник — Мордкович А.Г. и др.
Задачник — Мордкович А.Г. и др. Задачник полностью соответствует учебнику. В каждом параграфе содержится система упражнений, тщательно выстроенная по степени нарастания трудности и достаточная для занятий в классе, выполнения домашних заданий и самостоятельных работ.

11klasov.net
Купить эту книгу
Канцтовары
Канцтовары: бумага, ручки, карандаши, тетради. Ранцы, рюкзаки, сумки. И многое другое.
my-shop.ru
Алгебра 8 класс. Задачник — Мордкович А.Г. и др.
Задачник — Мордкович А.Г. и др. Данное пособие предусматривает занятия с учащимися, проявляющими интерес и способности к математике. Целью работы в соответствующих классах является формирование у школьников устойчивого интереса к предмету, дальнейшее развитие их математических способностей, ориентация на профессии, связанные с математикой, на применение математических методов в различных отраслях науки и техники.

11klasov.net
Алгебра. 8 класс — Мордкович А.Г.
Алгебра. 8 класс — Мордкович А.Г. Учебник написан в соответствии с действующими программами для общеобразовательной школы. Материалы учебника изложены подробно и обстоятельно, что позволяет использовать их для самостоятельного изучения. Приоритетной содержательно-методической основой учебника является функционально-графическая линия, а идейным стержнем концепции — математическая модель и математический язык. Рубрика: Алгебра / 8 класс. Автор: Мордкович А.Г.
11klasov.net
Алгебра. 8 класс. Углубленный уровень. В 2-х частях.
8 класс. Углубленный уровень. В 2-х частях. Учебник — Мордкович А.Г., Николаев Н.П. Учебник для классов с повышенным уровнем математической подготовки в общеобразовательных школах. Он написан в русле той концепции, которая использована в соответствующем учебнике А.
Г. Мордковича для 8-го класса общеобразовательных учреждений, с соблюдением практически того же порядка следования глав и параграфов, но с естественным для математических классов углублением и качественным расширением…
11klasov.net
Алгебра 8 класс Задачник Мордкович часть 2
8 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник; A. Г. Мордкович. Алгебра. 8 класс. Методическое пособие для учителя; Л. А. Александрова.
Электронное сопровождение курса «Алгебра-8» / Под ред. А. Г. Мордковича. У вас в руках вторая книга комплекта — задачник. Выделение задачника в отдельную книгу позволило авторам создать избыточную по объему систему упражнений, обеспечивающую учителя более чем достаточным материалом для работы в классе и для домашних заданий, без привлечения других источников.

uchebnik-skachatj-besplatno.com
Алгебра 8 класс Задачник Мордкович часть 2
8 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник; A. Г. Мордкович. Алгебра. 8 класс. Методическое пособие для учителя; Л. А. Александрова.
Электронное сопровождение курса «Алгебра-8» / Под ред. А. Г. Мордковича. У вас в руках вторая книга комплекта — задачник. Выделение задачника в отдельную книгу позволило авторам создать избыточную по объему систему упражнений, обеспечивающую учителя более чем достаточным материалом для работы в классе и для домашних заданий, без привлечения других источников.
uchebniki-shkola.com
Алгебра . 8 класс. Задачник. Мордкович А.Г. и др.
Мордкович А.Г. и др.
Задачник полностью соответствует учебнику. В каждом параграфе содержится система упражнений, тщательно выстроенная по степени нарастания трудности и достаточная для занятий в классе, выполнения домашних заданий и самостоятельных работ.
alleng.net
Задачник Алгебра 8 класс Мордкович скачать, читать онлайн
Задачник Алгебра 8 класс Мордкович А. Г. и др. Скачать бесплатно, читать онлайн на телефоне, планшете.
Задачник Алгебра 8 класс Мордкович. Авторы: Мордкович А.Г. и др. Язык: Русский Издательство: Мнемозина Год публикации: 2010 Формат: PDF Тип: Книга (электронный учебник) Страниц: 271.
11book.ru
Алгебра. 8 класс, задачник | Мордкович А.Г. | скачать книгу
Алгебра. 8 класс, задачник. Мордкович А.Г. Задачник полностью соответствует учебнику. В каждом параграфе содержится система упражнений, тщательно выстроенная по степени нарастания трудности и достаточная для занятий в классе, выполнения домашних заданий и самостоятельных работ.
bookscat.org
Задачник по алгебре «Алгебра. 8 класс». Мордкович А.Г. и др….
8 класс», автором которого является Мордкович А. Г., соответствует полностью материалам одноименного учебника того же автора. Каждый параграф представляет собой систему задач и упражнений, которые выстроены тщательным образом по степени нарастания сложности.

Каждая глава поделена на параграфы, в конце главы имеется обязательная контрольная работа для проверки и закрепления полученных знаний. Задачник по алгебре «Алгебра. 8 класс».
distance-teacher.ru
Алгебра 8 Мордкович ЗАДАЧНИК 2020 | Частная школа. 8 класс
Алгебра 8 Мордкович ЗАДАЧНИК 2020 с ответами и решениями. Ознакомительная версия.
Алгебра 8 Мордкович ЗАДАЧНИК 2020 ответами и решениями. Ознакомительная версия с цитатами из учебника для принятия решения о покупке книги: Алгебра. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч. 2 / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. — перераб.
xn--8-8sb3ae5aa.
xn--p1ai
Алгебра 8 класс Мордкович
Алгебра 8 класс Мордкович. Скачать PDF читать онлайн
co8a.ru
Алгебра 8 класс А.Г. Мордкович Часть 2 Задачник
Алгебра 8 класс Задачник Мордкович скачать бесплатно — учебник для 8 класса скачать бесплатно или читать на сайте.
Часть 2 учебника – задачник по алгебре для 8 класса содержит разнообразные системы упражнений, тщательно выстроенные на четырех уровнях – по степени нарастания трудности.
www.math-express.ru
Алгебра. 8 класс. Задачник. Мордкович А.Г. и др.
8 класс. Задачник. Мордкович А.Г. и др. Задачник полностью соответствует учебнику. В каждом параграфе содержится система упражнений, тщательно выстроенная по степени нарастания трудности и достаточная для занятий в классе, выполнения домашних заданий и самостоятельных работ.

proresheno.ru
Мордкович А.Г. и др. Алгебра 8 класс. Задачник | Алгебра для…
Автор: Мордкович А.Г. и др. Название: Алгебра 8 класс. Задачник Формат: PDF Размер: 2,03 Мб Язык: Русский. Скачать по прямой ссылке. Задачник полностью соответствует учебнику. В каждом параграфе содержится система упражнений, тщательно выстроенная по степени нарастания трудности и достаточная для занятий в классе, выполнения домашних заданий и самостоятельных работ.
www.psyoffice.ru
Алгебра. 8 класс. Задачник.
Мордкович А.Г. и др.
Задачник. Мордкович А.Г. и др. 12-е изд., испр. и доп. — М.: 2010 — 271с. Задачник полностью соответствует учебнику. В каждом параграфе содержится система упражнений, тщательно выстроенная по степени нарастания трудности и достаточная для занятий в классе, выполнения домашних заданий и самостоятельных работ.
to.alleng.org
Алгебра. 8 класс. Задачник. Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
8 класс. Задачник. Мордкович А.Г., Николаев Н.П. 16-е изд. — М.: 2019. — 351 с. Учебник для классов с повышенным уровнем математической подготовки в общеобразовательных школах. Он написан в русле той концепции, которая использована в соответствующем учебнике А.Г. Мордковича для 8-го класса общеобразовательных учреждений, с соблюдением практически того же порядка следования глав и параграфов, но с естественным для математических классов углублением и качественным расширением материала.

to.alleng.org
Читать Алгебра Задачник 8 класс Мордкович онлайн
Вот и прочти Алгебра Задачник 8 класс Мордкович здесь, это интересно! Представленный задачник является вторым элементом учебно-методического комплекта для изучения курса алгебры в 8 классе под редакцией Мордковича А. Г. и полностью соответствует требованиям ФГОС. Вынесение системы упражнений в отдельную книгу позволило авторам создать избыточную базу практического материала, который обеспечивает учителям возможность грамотно и эффективно организовать процесс работы в классе и дома, без привлечения иных…
gdz-online.ws
Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 частях. Часть 2. Задачник
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (базовый уровень).
Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений Издательство: Мнемозина Год: 2009 Страниц: 160 Учебник (13-е изд., испр. ) представляет собой первую часть комплекта из двух книг, предназначенных для изучения курса алгебры в 7-м классе (вторая часть — задачник) Главная особенность учебника состоит в том, что он основан на принципах проблемного, развивающего. ..
www.studmed.ru
Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся…
Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений Издательство: Мнемозина Год: 2009 Страниц: 160 Учебник (13-е изд., испр. ) представляет собой первую часть комплекта из двух книг, предназначенных для изучения курса алгебры в 7-м классе (вторая часть — задачник) Главная особенность учебника состоит в том, что он основан на принципах проблемного, развивающего и опережающего обучения.
www.studmed.ru
Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся…
8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень).
8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень). Мордкович А.Г., и др. Задачник полностью соответствует учебнику. В каждом параграфе содержится система упражнений, тщательно выстроенная по степени нарастания трудности и достаточная для занятий в классе, выполнения домашних заданий и самостоятельных работ.
bookscat.org
Алгебра. 8 класс, учебник | Мордкович А.Г. | скачать книгу
Учебник написан в соответствии с действующими программами для общеобразовательной школы. Материалы учебника изложены подробно и обстоятельно, что позволяет использовать их для самостоятельного изучения. Приоритетной, содержательно-методической основой учебника является функционально-графическая линия, а идейным стержнем концепции — математическая модель и математический язык. Скачать книгу бесплатно (djvu, 1.78 Mb) | Читать «Алгебра. 8 класс, учебник».
bookscat.org
Алгебра, 8 класс. Часть 2. Задачник (Мордкович А.Г.) 2010
Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2010.
vsesdali.com
Задачник Мордкович алгебра 8 класс читать онлайн
Выберите нужную страницу с уроками, заданиями (задачами) и упражнениями из задачника 8 класса по алгебре — Мордкович Александрова Мишустина повышенный уровень (часть 2). Онлайн книгу удобно смотреть (читать) с компьютера и смартфона.
На сайте можно читать, смотреть онлайн и скачать учебники и рабочие тетради по всем предметам за любой класс.
uchebnik-tetrad.com
Алгебра. 8 класс. Углубленный уровень. В 2-х частях.
8 класс. Углубленный уровень. В 2-х частях. Учебник — Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
На этой странице Вы можете скачать учебник Алгебра. 8 класс. Углубленный уровень. В 2-х частях. Учебник — Мордкович А.Г., Николаев Н.П.!. бесплатно со своего телефона на Android, iphone или пк в любое время.
gdztest.com
Учебники по алгебре 8 класс скачать в pdf бесплатно
Алгебра. 8 класс — Никольский С.М., Потапов М.К. cкачать в PDF. Математические диктанты.
Сборник задач по алгебре: учебное пособие для 8-9 кл. с углубленным изучением математики — Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. cкачать в DJVU. Изучение алгебры в 7-9 классах: пособие для учителей — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С.Б., Шлыкова И.С. cкачать в PDF.
reshaemvpr.ru
Алгебра. 8 класс. Задачник. Мордкович А. Г. и др. — alleng.me
Предисловие 3 Повторение курса алгебры 7-го класса 6 Глава 1. Алгебраические дроби § 1. Алгебраические дроби. Основные понятия 14 § 2. Сложение и вычитание алгебраических дробей 18 § 3. Умножение и деление алгебраических дробей.
Приближенные вычисления 223 § 44. Стандартный вид положительного числа 227 Глава 8. Дополнительные задачи по курсу алгебры 8-го класса § 45. Действительные числа 229 § 46. Применение неравенств к исследованию свойств функций …
uchebniki.alleng.me
ГДЗ по алгебре 8 класса, Учебник (Часть 1, 2), Мордкович А. Г.
Алгебра →. Мордкович А. Г.
Авторы: Мордкович А. Г. Тип: Учебник (Часть 1, 2). Издание: Мнемозина. Год издания: 2021 г. УМК: Мордкович А. Г. Уровень: Базовый. Цвет: Серый.
resh.skysmart.ru
ГДЗ — Алгебра. 8 класс. Задачник. Мордкович А.Г., и др.
Домашняя работа по алгебре за 8 класс к задачнику А.Г. Мордковича и др.
Решебник к новому изданию учебника А. Г. Мордковича по алгебре для 8 класса соответствует ФГОС и включает все решения задачника. Это пособие поможет учащимся эффективно овладеть программой по алгебре, а родителям — проконтролировать правильность выполнения домашних заданий.
alleng.net
Учебник по алгебре Мордкович за 8 класс скачать бесплатно
«Ваш учебник» > Учебники по математике > Учебник по алгебре Мордкович за 8 класс.
Материалы в этом учебнике с успехом применяю репетиторы во время уроков по математике. Учебники по алгебре и началу математического анализа заложены в качестве основы этой книги.
vashuchebnik.com
Алгебра. 8 класс. Мордкович А.Г.
Алгебра. 8 класс. Мордкович А.Г. 12-е изд., стер. — М.: 2010 — 215с.
Смотреть, скачать: drive.google. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие для учителя 3 Глава 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ § 1. Основные понятия 7 § 2. Основное свойство алгебраической дроби 10 § 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями 13 § 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями 15 § 5. Умножение и деление алгебраических дробей.
to.alleng.org

На данной странице Вы можете найти лучшие результаты поиска для чтения, скачивания и покупки на интернет сайтах материалов, документов, бумажных и электронных книг и файлов похожих на материал «Алгебра — 8 класс — Задачник — Мордкович А.Г.»

Для формирования результатов поиска документов использован сервис Яндекс.XML.

Нашлось 16 млн ответов. Показаны первые 32 результата(ов).

Дата генерации страницы: пятница, 16 сентября 2022 г. , 17:25:07 GMT

— Алгебра. 8 класс. Задачник — Мордкович А. Г, и др

Ответы на алгебру 8 класс мордкович

Домашняя работа по алгебре за 8 класс к задачнику А. Г. Мордковича и др. «Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч, 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений». Решебник к новому изданию учебника А. Г. Мордковича по алгебре для 8 класса соответствует ФГОС и включает все решения задачника. Это пособие поможет учащимся эффективно овладеть программой по алгебре, а родителям — проконтролировать правильность выполнения домашних заданий. В 8 классе ты будешь продолжать изучать алгебру. Это пособие поможет тебе с решением упражнений задачника для учащихся А. Г. Мордковича, Л. А. Александровой, Т. Н. Мишустиной, Е. Е. Тульчинской «Алгебра. 8 класс. В двух частях». Данное пособие включает в себя ответы на все упражнения задачника.

Мордковича, Л.

11klasov. net

28.09.2019 13:01:49

2019-09-28 13:01:49

Источники:

Https://11klasov. net/533-gdz-algebra-8-klass-zadachnik-mordkovich-ag-i-dr. html

Алгебра 8 Мордкович (упр. 1 — 34) | Частная школа. 8 класс » /> » /> .keyword { color: red; }

Ответы на алгебру 8 класс мордкович

Алгебра 8 класс. Часть 2 (Задачник) УМК Мордкович ( 2018-2020 ). Задачи на повторение пройденного в 7 классе. ОТВЕТЫ на упражнения 1 — 34. Нажмите на спойлер, чтобы посмотреть ответ на задание.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ.

Алгебра 8 Мордкович (упр. 1 — 34)

Задачи на повторение

Вычислите наиболее рациональным способом:

№ 1. а) 47 • 15 + 53 • 15; б) 29 • 72 – 29 • 22; в) 9,3 • 34 + 16 • 9,3; г) 8,3 • 18 – 18 • 5,8.

№ 2. a) 1/2 + 2 2/3 + 1 1/2 + 1 1/3; б) 3 2/5 • 2 3/7 • 5 • 7; в) (3/14 – 2/7 + 1/2) • 14; г) (12 2/9 + 24 2/3 – 16 2/15) : 2.

№ 3. Найдите: а) 3 % от 45; б) 125 % от 12; в) 2 % от 15; г) 206 % от 250.

№ 4. Найдите число b, если известно, что:
А) 30 % от 30 % числа b равны 7,2;
Б) 25 % от 24 % числа b равны 2,94;
В) 38 % от 80 % числа b равны 136,8;
Г) 35 % от 70 % числа b равны 0,98.

№ 5. Что больше:
А) 25 % числа 52 или 2,5 % числа 212;
Б) 41 % числа 83 или 15 % числа 20;
В) 12 % числа 16 или 1,2 % числа 160;
Г) 3 % числа 72 или 0,5 % числа 13?

№ 6. Докажите, что значение числового выражения равно нулю:

№ 7. Докажите, что не имеет смысла выражение:

Упростите выражение:

№ 8. а) а 5 • a 7 ; б) c 3 • c 4 ; в) r 2 • r 9 ; г) p 6 • p 3 .

№ 9. а) а 3 b 5 • а 4 b 7 ; б) c 4 d 7 • c 8 d 3 ; в) m 9 n 2 • n 5 m 3 ; г) p 2 q 7 • p 3 q 6 .

№ 6. Докажите, что значение числового выражения равно нулю:

Вычислите наиболее рациональным способом:

№ 1. а) 47 • 15 + 53 • 15; б) 29 • 72 – 29 • 22; в) 9,3 • 34 + 16 • 9,3; г) 8,3 • 18 – 18 • 5,8.

№ 2. a) 1/2 + 2 2/3 + 1 1/2 + 1 1/3; б) 3 2/5 • 2 3/7 • 5 • 7; в) (3/14 – 2/7 + 1/2) • 14; г) (12 2/9 + 24 2/3 – 16 2/15) : 2.

№ 3. Найдите: а) 3 % от 45; б) 125 % от 12; в) 2 % от 15; г) 206 % от 250.

№ 6. Докажите, что значение числового выражения равно нулю:

№ 7. Докажите, что не имеет смысла выражение:

Упростите выражение:

№ 8. а) а 5 • a 7 ; б) c 3 • c 4 ; в) r 2 • r 9 ; г) p 6 • p 3 .

№ 9. а) а 3 b 5 • а 4 b 7 ; б) c 4 d 7 • c 8 d 3 ; в) m 9 n 2 • n 5 m 3 ; г) p 2 q 7 • p 3 q 6 .

№ 7. Докажите, что не имеет смысла выражение:

Найдите число b, если известно, что а 30 от 30 числа b равны 7,2; б 25 от 24 числа b равны 2,94; в 38 от 80 числа b равны 136,8; г 35 от 70 числа b равны 0,98.

Xn—8-8sb3ae5aa. xn--p1ai

02.05.2017 10:56:15

2017-05-02 10:56:15

Источники:

Https://xn--8-8sb3ae5aa. xn--p1ai/algebra-8-mordkovich-upr-1-34/

(решебник) по алгебре 8 класс — Мордкович. » /> » /> .keyword { color: red; }

Ответы на алгебру 8 класс мордкович

Мишустиной, Е.

11klasov. net

02.03.2020 5:59:10

2020-03-02 05:59:10

Источники:

Https://11klasov. net/3554-gdz-reshebnik-po-algebre-8-klass-mordkovich. html

Алгебра 8 класс Мордкович

Задачи на повторение

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68

Глава 1. Алгебраические дроби

§ 1. Основные понятия

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20

1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30

1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40

1.41

§ 2. Основное свойство алгебраической дроби

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20

2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30

2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 2.39 2.40

2.41 2.42 2.43 2.44 2.45 2.46 2.47 2.48

§ 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10

3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20

3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29

§ 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10

4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20

4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 4.30

4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.40

4.41 4.42 4.43 4.44 4.45 4.46 4.47 4.48 4.49 4.50

4.51 4.52 4.53 4.54 4.55 4.56

§ 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10

5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18 5.19 5.20

5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 5.26 5.27 5.28 5.29 5.30

5.31 5.32 5.33 5.34 5.35 5.36 5.37 5.38 5.39 5.40

5.41 5.42 5.43 5.44 5.45 5.46

§ 6. Преобразование рациональных выражений

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10

6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6. 16 6.17 6.18 6.19 6.20

6.21 6.22 6.23 6.24

§ 7. Первые представления о рациональных уравнениях

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10

7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 7.20

7.21 7.22 7.23 7.24 7.25 7.26 7.27 7.28 7.29 7.30

7.31 7.32 7.33 7.34 7.35 7.36 7.37 7.38 7.39 7.40

§ 8. Степень с отрицательным целым показателем

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10

8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16 8.17 8.18 8.19 8.20

8.21 8.22 8.23 8.24 8.25 8.26 8.27 8.28 8.29 8.30

8.31 8.32

Домашняя контролная работа №1. Вариант 1:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Домашняя контролная работа №1. Вариант 2:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Глава 2. Функция y = корень(х). Свойства квадратного корня.

§ 9. Рациональные числа

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9. 7 9.8 9.9 9.10

9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 9.16 9.17 9.18 9.19 9.20

9.21 9.22 9.23 9.24 9.25 9.26 9.27 9.28 9.29

§ 10. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа

10.1

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9

10.10

10.11

10.12

10.13

10.14

10.15

10.16

10.17

10.18

10.19

10.20

10.21

10.22

10.23

10.24

10.25

10.26

10.27

10.28

10.29

10.30

10.31

10.32

10.33

10.34

10.35

10.36

10.37

10.38

10.39

10.40

10.41

10.42

10.43

§ 11. Иррациональные числа

11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10

11.11 11.12 11.13 11.14 11.15 11.16 11.17

§ 12. Множество действительных чисел

12. 1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 12.10

12.11 12.12 12.13 12.14 12.15 12.16 12.17 12.18 12.19 12.20

12.21 12.22

§ 13. Функция у = корень(х), ее свойства и график

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 13.10

13.11 13.12 13.13 13.14 13.15 13.16 13.17 13.18 13.19 13.20

13.21 13.22 13.23 13.24 13.25 13.26 13.27 13.28 13.29 13.30

13.31 13.32

§ 14. Свойства квадратных корней

14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10

14.11 14.12 14.13 14.14 14.15 14.16 14.17 14.18 14.19 14.20

14.21 14.22 14.23 14.24 14.25 14.26 14.27 14.28 14.29 14.30

14.31 14.32 14.33 14.34 14.35 14.36

§ 15. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня

15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.10

15.11 15.12 15.13 15.14 15.15 15.16 15.17 15. 18 15.19 15.20

15.21 15.22 15.23 15.24 15.25 15.26 15.27 15.28 15.29 15.30

15.31 15.32 15.33 15.34 15.35 15.36 15.37 15.38 15.39 15.40

15.41 15.42 15.43 15.44 15.45 15.46 15.47 15.48 15.49 15.50

15.51 15.52 15.53 15.54 15.55 15.56 15.57 15.58 15.59 15.60

15.61 15.62 15.63 15.64 15.65 15.66 15.67 15.68 15.69 15.70

15.71 15.72 15.73 15.74 15.75 15.76 15.77 15.78 15.79 15.80

15.81 15.82 15.83 15.84 15.85 15.86 15.87 15.88 15.89 15.90

15.91 15.92 15.93 15.94 15.95 15.96 15.97 15.98 15.99 15.100

15.101 15.102 15.103 15.104 15.105 15.106

§ 16. Модуль действительного числа

16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10

16.11 16.12 16.13 16.14 16.15 16.16 16.17 16.18 16.19 16.20

16.21 16.22 16.23 16.24 16.25 16.26 16.27 16.28 16.29 16.30

16.31 16.32 16.33 16.34 16.35 16. 2, ее свойства и график

17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 17.10

17.11 17.12 17.13 17.14 17.15 17.16 17.17 17.18 17.19 17.20

17.21 17.22 17.23 17.24 17.25 17.26 17.27 17.28 17.29 17.30

17.31 17.32 17.33 17.34 17.35 17.36 17.37 17.38 17.39 17.40

17.41 17.42 17.43 17.44 17.45 17.46 17.47 17.48 17.49 17.50

17.51 17.52 17.53 17.54 17.55 17.56 17.57 17.58 17.59 17.60

17.61 17.62 17.63 17.64 17.65 17.66

§ 18. Функция у = k/х, ее свойства и график

18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 18.10

18.11 18.12 18.13 18.14 18.15 18.16 18.17 18.18 18.19 18.20

18.21 18.22 18.23 18.24 18.25 18.26 18.27 18.28 18.29 18.30

18.31 18.32 18.33 18.34 18.35 18.36 18.37 18.38

§ 19. Как построить график функции у = f(x+l), если известен график функции у = f(x)

19.1 19.2 19.3 19. 4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 19.10

19.11 19.12 19.13 19.14 19.15 19.16 19.17 19.18 19.19 19.20

19.21 19.22 19.23 19.24 19.25 19.26 19.27 19.28 19.29 19.30

19.31 19.32 19.33 19.34 19.35 19.36 19.37 19.38 19.39 19.40

19.41 19.42 19.43 19.44 19.45 19.46 19.47 19.48 19.49 19.50

19.51 19.52 19.53 19.54 19.55 19.56 19.57 19.58

§ 20. Как построить график функции у = f(x) + m, если известен график функции у = f(x)

20.1

20.2

20.3

20.4

20.5

20.6

20.7

20.8

20.9

20.10

20.11

20.12

20.13

20.14

20.15

20.16

20.17

20.18

20.19

20.20

20.21

20.22

20.23

20.24

20.25

20.26

20.27

20.28

20.29

20.30

20.31

20.32

20.33

20.34

20.35

20. 2+bx+c, ее свойства и график

22.1 22.2 22.3 22.4 22.5 22.6 22.7 22.8 22.9 22.10

22.11 22.12 22.13 22.14 22.15 22.16 22.17 22.18 22.19 22.20

22.21 22.22 22.23 22.24 22.25 22.26 22.27 22.28 22.29 22.30

22.31 22.32 22.33 22.34 22.35 22.36 22.37 22.38 22.39 22.40

22.41 22.42 22.43 22.44 22.45 22.46 22.47 22.48 22.49 22.50

22.51 22.52 22.53 22.54 22.55

§ 23. Графическое решение квадратных уравнений

23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 23.9 23.10

23.11 23.12 23.13 23.14 23.15 23.16 23.17 23.18 23.19 23.20

23.21 23.22 23.23 23.24

Домашняя контролная работа №3. Вариант 1:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Домашняя контролная работа №3. Вариант 2:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Глава 4. Квадратные уравнения

§ 24. Основные понятия

24.1 24.2 24.3 24.4 24. 5 24.6 24.7 24.8 24.9 24.10

24.11 24.12 24.13 24.14 24.15 24.16 24.17 24.18 24.19 24.20

24.21 24.22 24.23 24.24 24.25 24.26 24.27 24.28 24.29 24.30

24.31 24.32 24.33 24.34 24.35 24.36 24.37 24.38 24.39

§ 25. Формулы корней квадратных уравнений

25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6 25.7 25.8 25.9 25.10

25.11 25.12 25.13 25.14 25.15 25.16 25.17 25.18 25.19 25.20

25.21 25.22 25.23 25.24 25.25 25.26 25.27 25.28 25.29 25.30

25.31 25.32 25.33 25.34 25.35 25.36 25.37 25.38 25.39 25.40

25.41 25.42 25.43 25.44 25.45 25.46 25.47 25.48

§ 26. Рациональные уравнения

26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 26.7 26.8 26.9 26.10

26.11 26.12 26.13 26.14 26.15 26.16 26.17 26.18 26.19 26.20

26.21 26.22 26.23 26.24 26.25 26.26 26.27 26.28

§ 27. Рациональнне уравнения как математические модели реальных ситуаций

27. 1 27.2 27.3 27.4 27.5 27.6 27.7 27.8 27.9 27.10

27.11 27.12 27.13 27.14 27.15 27.16 27.17 27.18 27.19 27.20

27.21 27.22 27.23 27.24 27.25 27.26 27.27 27.28 27.29 27.30

27.31 27.32 27.33 27.34 27.35 27.36 27.37 27.38 27.39 27.40

27.41 27.42 27.43 27.44 27.45

§ 28. Еще одна формула корней квадратного уравнения

28.1 28.2 28.3 28.4 28.5 28.6 28.7 28.8 28.9 28.10

28.11 28.12 28.13 28.14 28.15 28.16 28.17 28.18 28.19 28.20

28.21 28.22 28.23 28.24 28.25 28.26 28.27 28.28

§ 29. Формула Виета

29.1 29.2 29.3 29.4 29.5 29.6 29.7 29.8 29.9 29.10

29.11 29.12 29.13 29.14 29.15 29.16 29.17 29.18 29.19 29.20

29.21 29.22 29.23 29.24 29.25 29.26 29.27 29.28 29.29 29.30

29.31 29.32 29.33 29.34 29.35 29.36 29.37 29.38 29.39 29.40

29.41 29.42 29.43 29.44 29.45 29.46 29.47 29.48 29. 49 29.50

29.51 29.52 29.53 29.54 29.55

§ 30. Иррациональные уравнения

30.1

30.2

30.3

30.4

30.5

30.6

30.7

30.8

30.9

30.10

30.11

30.12

30.13

30.14

30.15

30.16

30.17

30.18

30.19

30.20

30.21

30.22

30.23

30.24

Домашняя контролная работа №4. Вариант 1:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Домашняя контролная работа №4. Вариант 2:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Глава 5. Неравенства

§ 31. Свойства числовых неравенств

31.1 31.2 31.3 31.4 31.5 31.6 31.7 31.8 31.9 31.10

31.11 31.12 31.13 31.14 31.15 31.16 31.17 31.18 31.19 31.20

31.21 31.22 31.23 31.24 31.25 31.26 31.27 31.28 31.29 31.30

31.31 31.32 31.33 31.34 31.35 31.36 31.37 31.38 31.39 31.40

31. 41 31.42 31.43 31.44 31.45 31.46 31.47 31.48 31.49 31.50

31.51 31.52 31.53 31.54 31.55 31.56 31.57 31.58 31.59 31.60

31.61 31.62 31.63 31.64 31.65

§ 32. Исследование функции на монотонность

32.1 32.2 32.3 32.4 32.5 32.6 32.7 32.8 32.9 32.10

32.11 32.12 32.13 32.14

§ 33. Решение линейных неравенств

33.1 33.2 33.3 33.4 33.5 33.6 33.7 33.8 33.9 33.10

33.11 33.12 33.13 33.14 33.15 33.16 33.17 33.18 33.19 33.20

33.21 33.22 33.23 33.24 33.25 33.26 33.27 33.28 33.29 33.30

33.31 33.32 33.33 33.34 33.35 33.36 33.37 33.38

§ 34. Решение квадратных неравенств

34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 34.7 34.8 34.9 34.10

34.11 34.12 34.13 34.14 34.15 34.16 34.17 34.18 34.19 34.20

34.21 34.22 34.23 34.24 34.25 34.26 34.27 34.28 34.29 34.30

34.31 34.32 34.33 34.34 34.35 34.36 34. 37 34.38 34.39 34.40

34.41 34.42 34.43 34.44 34.45 34.46

§ 35. Приближенные значения действительных чисел

35.1 35.2 35.3 35.4 35.5 35.6 35.7 35.8 35.9 35.10

35.11 35.12

§ 36. Стандартный вид числа

36.1 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7 36.8 36.9 36.10

36.11 36.12 36.13 36.14 36.15 36.16 36.17 36.18 36.19

Домашняя контролная работа №5. Вариант 1:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Домашняя контролная работа №5. Вариант 2:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Глава 6. Итоговое повторение

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

151 152 153 154 155 156 157 158

ГДЗ По Алгебре 8 Класс 2020 Мордкович – Telegraph

➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!

ГДЗ По Алгебре 8 Класс 2020 Мордкович

ГДЗ по Алгебре за 8 класс Мордкович, Александрова, Тульчинская, Мишустина Задачник ФГОС Базовый уровень Мнемозина . Изучение алгебры продолжается в 8 классе общеобразовательной школы . Наряду с этим предметом, школьникам предстоит разбираться с . .

Алгебра 8 Мордкович ЗАДАЧНИК 2020 ответами и решениями . Ознакомительная версия с цитатами из учебника для принятия решения о покупке книги: Алгебра . 8 класс . Учебник для учащихся общеобразовательных организаций . В 2 ч . Ч . 2 / [А . Г . Мордкович и др .]; под ред . А . Г . .

Готовое домашние задание (гдз , решебник) по алгебре . 8 класс . Часть 2 . Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений Задачник для 8 класса по алгебре Мордоковича А .Г . содержит приложение, в котором в кратком виде отражены правила и формулы за 7 класс .

Учебник по алгебре Мордковича 8 класс часто вызывает много сложностей у школьников, особенно после 7 класса , когда уроки алгебры только начались, а опыта решения сложных уравнений и задач недостаточно . В таком случае, на помощь приходит решебник и гдз . .

Готовые домашние задания по алгебре для 8 класса – решебник Мордокович А . Г . и др ., ответы в один клик, круглосуточно, бесплатно и ГДЗ по алгебре за 7 класс Мордокович – это электронный сборник решений по учебнику Мордоковича А .Г ., Александровой Л .А ., Мишустиной . .

Тут можно абсолютно бесплатно использовать решебник (ГДЗ ) для учебника по алгебре Мордкович за 8 -й класс . Пособие предназначено для родителей . Всегда помните, что нужно не бездумно списывать, это не прибавляет знаний . .

Ищете решебник по алгебре за 8 класс? На нашем портале собраны решебники для всех учебников Алгебра — одна из них . Знания, полученные за этот учебный год, станут основой для дальнейшего ГДЗ — не инструмент избавления от выполнения классных и домашних заданий .

ГДЗ по алгебре 8 класс Задачник Мордкович А .Г . Базовый уровень . В двух частях сборника ГДЗ по алгебре за 8 класс Мордкович разобраны все задания из учебника . Эта часть книги разделана на тридцать шесть тематических глав .

ГДЗ Алгебра 8 класс Мордкович . Часть 2 (задачник) А .Г . Мордкович , Л .А . Александрова, Т .Н . Мишустина, Е .Е . Тульчинская Мнемозина . Ниже вы найдете решенные упражнения из задачника по алгебре автора Мордкович А .Г . за 8 класс основной школы .

Видеоуроки, тесты и тренажёры по предмету Алгебра за 8 класс по учебнику Мордкович А .Г .

. .алгебре 8 класс Мордкович , готовые домашние задания — Алгебра становится все сложнее, примеры увеличиваются а домашнее задание А для проверки правильности решения домашнего задания представлены готовые домашние задания ГДЗ по алгебре 8 класс . .

Ответы к учебнику по алгебре для 8 класса Мордкович . Добавить книги в список » По зосу «» не найдено ни одной книги . Алгебра . 8 класс . Часть 2 . Задачник . Мордкович А . Г .

ГДЗ по алгебре за 8 класс Мордкович части 2 задачника – безупречное выполнение домашних заданий . Школьная программа по алгебре требует от учеников усвоения широкого массива информации . В связи с этим многие из них не успевают уяснить правил решения примеров и . .

ГДЗ по алгебре 8 класс Мордокович является просто «палочкой-выручалочкой» для переживательных родителей . ГДЗ по алгебре 8 класс Мордокович это экономия времени и дене Для выполнения того же объёма заданий, школьник потратит гораздо меньше времени . .

Готовое Домашнее Задание (ГДЗ ) по Алгебре за 8 класс Мордкович А .Г, Мишустина Т .Н, Тульчинская Е .Е . Старое издание 2002 На самом деле «Готовые домашние задания по алгебре 8 класс » автора А .Г . Мордковича пригодятся в процессе обучения не только детям с . .

Готовые домашние задания по алгебре для 8 класса – решебник Мордокович А .Г . и др ., ответы в один клик, круглосуточно, бесплатно и ГДЗ по алгебре за 7 класс Мордокович – это электронный сборник решений по учебнику Мордоковича А .Г ., Александровой Л .А ., Мишустиной . .

Видеоуроки, тесты и тренажёры по предмету Алгебра за 8 класс по учебнику Мордкович А .Г .

ГДЗ Немецкий Рабочая
ГДЗ По Математике 2 Класс Юдина
ГДЗ От Путина Сборник Упражнений
ГДЗ Контрольных По Английскому 6 Класс
Решебник По Математике По Контрольным
Матем Петерсон 4 Класс Решебник Ответы ГДЗ
Алгебра 9 Шевкин ГДЗ
Матем 5кл Дорофеев Решебник Ответы
ГДЗ По Немецкому Языку 7 Класс Автор
ГДЗ 6 Класс География Контурная
ГДЗ Математика 2 Класс Дорофеев Рабочая
Решебник По Русскому Рамзаева 2 Часть
ГДЗ Бабайцева 6 Класс
ГДЗ По Обществознанию 9 Класс Насонова Учебник
Решебник По Русскому Класс Пичугов
ГДЗ По Математике Виленкин Жохов Чесноков 5
Решебник По 5 Английскому 1 Часть
ГДЗ 1123 Мерзляк
Решебник ГДЗ 9
Русский 8 Класс Ладыженская Упр 12 Решебник
ГДЗ Ответ Биболетова 5 Класс
ГДЗ По Литературе 5 Кл Коровина
ГДЗ По Алгебре 8 Класс Мерзляк 20
ГДЗ Задания По Русскому Языку 5
Физика 7 Класс Перышкин Учебник ГДЗ Задания
ГДЗ 3 Мерзляк
ГДЗ По Физике 7 Класс 1
ГДЗ По Английскому 7 Класс Starlight Тетрадь
ГДЗ Душина 7 Класс Рабочая
Решебник 9 Класс Русский Язык Тростенцова
ГДЗ По Математике Автор Виленкин
ГДЗ Итоговая Контрольная Работа 5 Класс
ГДЗ Русский Рабочая Тетрадь Нечаева
ГДЗ По М 2 Часть
ГДЗ По Географии 8 Класс 2020
ГДЗ По Физике 9 Громов
Решебник 4 Класс Кузьменко
ГДЗ Английский 10 Класс Кузовлев Students Book
ГДЗ По Географии Плешаков Сонин
ГДЗ Упражнение 8 9 Класс
ГДЗ По Окружающему Миру 3 Ответы
ГДЗ Текстовых Задач
Алгебра 11 Дидактические Материалы ГДЗ
ГДЗ Коровиной 6 Класс
Решебник Уравнений Онлайн
ГДЗ По Р?Ском? Язык? 8 Класс Ладыженская
ГДЗ По Биологии Чернова
ГДЗ Английский 5 2 Часть
Решебник По Физике 10 11
Решебник По Математике Пятый Класс Часть Первая

Сборник Задач По Физике 7 Класс Гдз

ГДЗ По Английскому 6 Класс Spotlight Рабочая

Гдз Русский Львов Львова

ГДЗ Виленкин 6 Номер

Гдз По Математике Учебник Бука

Умножение многочлена на одночлен.

Типовые задачи. Видеоурок «Умножение многочлена на одночлен

Если числа обозначаются разными буквами, то можно обозначить только из произведения; пусть, например, надо число а умножить на число b, — мы можно обозначить это либо через a∙b, либо через ab, но не может быть и речи о том, чтобы как-то выполнить это умножение.Однако, когда мы имеем дело с мономами, то, в силу 1) наличия коэффициентов и 2) того, что в эти одночлены могут входить множители, обозначаемые одинаковыми буквами, можно говорить об умножении одночленов, для многочленов эта возможность еще шире.Рассмотрим ряд случаев, когда можно производить умножение, начиная с простейшего

1. Умножение степеней с теми же основаниями … Пусть, например, потребуется а 3 ∙ а 5. Зная смысл возведения в степень, запишем то же более подробно:

а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ а ∙ а

Глядя на эту подробную запись, мы видим, что мы написали а в 8 раз, или, короче, в 8 раз. Итак, а 3 ∙ а 5 = а 8.

Пусть требуется b 42 ∙ b 28. Пришлось бы написать сначала множитель b 42 раза, а потом снова множитель b 28 раз — в общем, мы бы получили, что b берется множителем 70 раз. т. е. b 70. Значит, b 42 ∙ b 28 = b 70. Отсюда уже видно, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается неизменным, а показатели степени складываются. Если у нас есть a 8 ∙ a, то мы должны иметь в виду, что множитель a подразумевает показатель степени 1 («a в первой степени»), — следовательно, a 8 ∙ a = a 9.

Примеры: х ∙ х 3 ∙ х 5 = х 9; а 11 ∙ 22 ∙ 33 = 66; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12; (а + б) 3 ∙ (а + б) 4 = (а + б) 7; (3x — 1) 4 ∙ (3x — 1) = (3x — 1) 5 и т. д.

Иногда приходится иметь дело со степенями, показатели степени которых обозначаются буквами, например, xn (x в степени н). К таким выражениям нужно привыкнуть. Вот несколько примеров:

Поясним некоторые из этих примеров: bn — 3 ∙ b 5 основание b оставить без изменений, а показатели добавить, то есть (n — 3) + (+5) = n — 3+5=n+2. Конечно, такие прибавления надо научиться делать быстро в уме.

Другой пример: x n + 2 ∙ x n — 2, — основание x оставить без изменений, а показатель степени добавить, т.е. (n + 2) + (n — 2) = n + 2 + n — 2 = 2н.

Можно выше найденный порядок, как выполнять умножение степеней с одинаковыми основаниями, теперь можно выразить равенством:

а м ∙ н = а м + n

2. Умножение одночлена на одночлен. Предположим, например, что вы хотите 3a²b³c ∙ 4ab²d². Мы видим, что здесь точкой обозначено одно умножение, но мы знаем, что один и тот же знак умножения имеется в виду между 3 и а², между а² и b³, между b³ и с, между 4 и а, между а и b², между b² и д². Следовательно, мы можем видеть здесь произведение 8 множителей и можем умножать их на любые группы в любом порядке. Переставим их так, чтобы коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями стояли рядом друг с другом, т.е.

3 ∙ 4 ∙ а² ∙ а ∙ b³ ∙ b² ∙ с ∙ d².

Тогда мы можем перемножить 1) коэффициенты и 2) степени с одинаковыми основаниями и получить 12a³b5cd².

Итак, при умножении одночлена на одночлен мы можем умножать коэффициенты и степени с теми же основаниями, а остальные множители приходится переписывать без изменений.

Еще примеры:

3. Умножение многочлена на одночлен. Предположим, вы должны сначала какой-нибудь многочлен, например, a — b — c + d умножить на положительное целое число, например, +3. Поскольку положительные числа считаются такими же, как и арифметические числа, то это то же самое, что (a — b — c + d) ∙ 3, т.е. a — b — c + d берется 3 раза как слагаемое, или

(a — b — c + d) ∙ (+3) = a — b — c + d + a — b — c + d + a — b — c + d = 3a — 3b — 3c + 3d,

, то есть в итоге каждый член многочлена пришлось умножать на 3 (или на +3).

Отсюда следует:

(a — b — c + d) ÷ (+3) = a — b — c + d,

, то есть каждый член многочлена надо было разделить на (+3). Также суммируя, получаем:

и т.д.

Теперь пусть надо умножить (a — b — c + d) на положительную дробь, например, на +. Это как умножение на арифметическую дробь, то есть взятие частей (a — b — c + d). Пятую часть этого многочлена взять легко: нужно разделить (a — b — c + d) на 5, и мы уже умеем это делать, — получаем… Осталось повторить полученный результат 3 раз или умножить на 3, т.е.

В итоге мы видим, что нам пришлось умножать каждый член полинома на или на +.

Теперь пусть надо умножить (a — b — c + d) на отрицательное число, целое или дробное,

то есть и в этом случае каждый член многочлена надо было умножить на -.

Таким образом, каким бы ни было число m, всегда (a — b — c + d) ∙ m = am — bm — cm + dm.

Поскольку каждый одночлен является числом, здесь мы видим указание, как умножать многочлен на одночлен — каждый член многочлена надо умножать на этот одночлен.

4. Умножение многочлена на многочлен … Пусть надо (а+b+с)∙(d+e). Так как d и e обозначают числа, то (d + e) также выражает любое одно число.

(a + b + c) ∙ (d + e) = a (d + e) + b (d + e) + c (d + e)

(можно объяснить это образом: мы имеем право временно принять d + e за моном).

Ad+ae+bd+be+cd+ce

В результате можно изменить порядок членов.

(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,

то есть, чтобы умножить многочлен на многочлен, надо умножить каждый член единицы многочлен от каждого члена другого. Удобно (для этого порядок полученных членов был изменен выше) умножать каждый член первого многочлена сначала на первый член второго (на + d), затем на второй член второго (на + д), то, если бы это было, третьим и т. д. . д.; после этого следует провести кастинг похожих участников.

В этих примерах двучлен умножается на двучлен; в каждом биноме члены расположены в убывающей степени буквы, общей для обоих биномов. Такие умножения легко выполнить в уме и сразу записать конечный результат.

Из умножения старшего члена первого двучлена на старший член второго, т.е. 4x² на 3x, получаем 12x³ старший член произведения — подобного ему явно не будет. Далее ищем, от умножения каких слагаемых получим слагаемые с меньшей, чем 1 степенью буквы х, то есть с х². Нетрудно видеть, что такие слагаемые будут получены умножением второго члена первого сомножителя на 1-й член второго и умножением 1-го члена первого сомножителя на 2-й член второго (скобки внизу пример указывает на это). Нетрудно произвести эти умножения в уме, а также выполнить приведение этих двух подобных слагаемых (после чего мы получим слагаемое –19х²). Затем замечаем, что следующее слагаемое, содержащее букву х в степени на 1 меньше, то есть х в 1-й степени, получится только от умножения второго слагаемого на второе, и подобных им не будет.

Другой пример: (x² + 3x) (2x — 7) = 2x³ — x² — 21x.

Также несложно мысленно проделать примеры наподобие следующих:

Старший член получается умножением старшего члена на старший, подобных ему членов не будет, и он = 2а³. Затем ищем, какие умножения дадут слагаемые с а² — от умножения 1-го слагаемого (а²) на 2-е (–5) и от умножения второго слагаемого (–3а) на 1-е (2а) – это указывается ниже в скобках; выполняя эти умножения и объединяя полученные слагаемые в одно, мы получаем –11a². Затем ищем, какие умножения дадут термы с а в первой степени — эти умножения отмечены скобками выше. Выполнив их и объединив полученные слагаемые в одно, получим +11а. Наконец, обратите внимание, что наименее значащий член в произведении (+10), который вообще не содержит a, получается путем умножения младшего значащего члена (–2) одного полинома на младший значащий член (–5) многочлена. Другой.

Другой пример: (4а 3 + 3а 2 — 2а) ∙ (3а 2 — 5а) = 12а 5 — 11а 4 — 21а 3 + 10а 2.

Из всех предыдущих примеров также получим общий результат: старший член произведения всегда получается умножением старших членов сомножителей, и подобных членов быть не может; также низший член произведения получается путем умножения низших членов множителей, и одинаковых членов быть не может.

Остальные слагаемые, полученные умножением многочлена на многочлен, могут быть подобны, и даже может случиться так, что все эти слагаемые взаимно аннулируются, и останутся только старший и младший.

Вот несколько примеров:

(a² + ab + b²) (a — b) = a³ + a²b + ab² — a²b — ab² — b³ = a³ — b³
(a² — ab + b²) (a — b) = a³ — a²b + ab² + a²b — ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a — b) = a 4 — b 4 (запишите только результат)
(x 4 — x³ + x² — x + 1) (x + 1) = x 5 + 1 и т. д.

Эти результаты заслуживают внимания и их полезно запомнить.

Особенно важен следующий случай умножения:

(a + b) (a — b) = a² + ab — ab — b² = a² — b²
или (x + y) (x — y) = x² + xy — xy — y² = x² — y²
или (x + 3) (x — 3) = x² + 3x — 3x — 9 = x² — 9 и т. д. .

Во всех этих примерах применительно к арифметике мы имеем произведение суммы двух чисел на их разность, а результатом является разность квадратов этих чисел.

Если мы видим подобный случай, то нет необходимости детально выполнять умножение, как это было сделано выше, а можно сразу написать результат.

Например, (3а + 1) ∙ (3а — 1). Здесь первый множитель, с точки зрения арифметики, есть сумма двух чисел: первое число 3а и второе 1, а второй множитель есть разность этих же чисел; следовательно, результат должен быть: квадрат первого числа (т.е. 3a ∙ 3a = 9а²) минус квадрат второго числа (1 ∙ 1 = 1), т.е.

(3а + 1) ∙ (3а — 1) = 9а² — 1.

Также

(аб — 5) ∙ (аб + 5) = a²b² — 25 и т. 2*у — 4*х*у)*4*х. 92.

Задача :

Обеспечить усвоение начальных знаний по теме «Умножение одночлена на многочлен»;
Развивать аналитическое и синтезирующее мышление;
Воспитывать мотивы к обучению и положительное отношение к знаниям.

Тимбилдинг класса.

Задания :

Ознакомиться с алгоритмом умножения одночлена на многочлен;
Отработать алгоритм практического использования.

Оборудование : карточки с заданиями, компьютер, интерактивный проектор.

Тип урока : комбинированный.

Во время занятий

I. Организационный момент:

Здравствуйте ребята, садитесь.

Сегодня мы продолжаем изучение раздела «Многочлены» и темы нашего урока «Умножение одночлена на многочлен». Откройте тетради и запишите номер и тему урока «Умножение одночлена на многочлен».

Задача нашего урока — вывести правило умножения одночлена на многочлен и научиться применять его на практике. Полученные сегодня знания необходимы вам на протяжении всего изучения всего курса алгебры.

У вас на столах лежат бланки, в которые мы будем вносить ваши баллы, набранные в течение урока, и в результате будет выставлена оценка. Точки будем изображать в виде смайликов. ( Приложение 1 )

II. Этап подготовки учащихся к активному и осознанному усвоению нового материала.

При изучении новой темы нам понадобятся знания, полученные на предыдущих уроках.

Учащиеся выполняют задания на карточках по теме «Степень и ее свойства». (5-7 минут)

Фронтальная работа:

1) Дано два монома: 12п 3 и 4п 3

а) сумма;
б) разница;
в) произведение;
д) частный;
f) квадрат каждого одночлена.

2) Назовите члены многочлена и определите степень многочлена:

а) 5 аб – 7 а 2 + 2 б – 2,6
б) 6 ху 5 + х 2 у — 2

3) Сегодня нам понадобится распределительное свойство умножения.

Сформулируем это свойство и обозначение в буквальном виде.

III. Этап усвоения новых знаний.

Мы повторили правило умножения одночлена на одночлен, распределительное свойство умножения. Теперь усложним задачу.

Разделитесь на 4 группы. В каждой группе на карточках по 4 выражения. Попробуйте восстановить недостающее звено в цепочке и объяснить свою точку зрения.

8x 3 (6x 2 — 4x + 3) = …………………. …… = 48x 5 — 32x 4 + 24x 3
5а 2 (2а 2 + 3а — 7) = ……………………….. = 10а 4 + 15а 3 — 35а 2
3 года (9 лет 3 — 4 года 2 — 6) = ………………………. = 27г 4 — 12г 3 — 18г
6б 4 (6б 2 + 4б — 5) = …………. …………… = 36б 6 + 24б 5 — 30б 4

(К экрану подходит один представитель от каждой группы, записывает недостающую часть выражения и поясняет свою точку зрения.)

Попробуйте сформулировать правило (алгоритм) умножения многочлена на одночлен.

Какое выражение получается в результате выполнения этих действий?

Чтобы проверить себя, откройте обучающую страницу 126 и прочитайте правило (вслух читает 1 человек).

Совпадают ли наши выводы с правилом в учебнике? Запишите в тетрадь правило умножения одночлена на многочлен.

IV. Анкеровка:

1. Физкультура:

Ребята, сядьте поудобнее, закройте глаза, расслабьтесь, сейчас мы отдыхаем, мышцы расслаблены, изучаем тему «Умножение одночлена на многочлен».

И так запоминаем правило и повторяем за мной: чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена и записать сумму полученных выражений. Мы открываем глаза.

2. Работа по учебнику № 614 у доски и в тетрадях;

а) 2х (х 2 — 7х — 3) = 2х 3 — 14х 2 — 6х
б) -4в 2 (5в 2 — 3в — 2) = -20в 4 + 12в 3 + 8в 2
в) (3а 3 — а 2 + а) (- 5а 3) = -15а 6 + 5а 5 — 5а 4
г) (у 2 — 2,4у + 6) 1,5у = 1,5у 3 — 3,6у 2 + 9у
д) -0,5 x 2 (-2x 2 — 3x + 4) = x 4 + 1,5x 3 — 2x 2
f) (-3y 2 + 0,6y) (- 1,5y 3) = 4,5y 5 — 0,9y 4

(При выполнении номера анализируются наиболее типичные ошибки)

3. Конкурс по вариантам (расшифровка пиктограммы). (Приложение 2)

Опция 1:		Опция 2:
1) -3x 2 (- x 3 + x — 5) 2) 14 х (3 ху 2 – х 2 у + 5) 3) -0,2 м 2 н (10 мин 2 – 11 м 3 – 6) 4) (3a 3 — a 2 + 0,1a) (- 5a 2) 5) 1/2 с (6 с 3 d — 10c 2 d 2) 6) 1,4p 3 (3q — pq + 5p) 7) 10x 2 y (5,4xy — 9017 906 9062) — 0,4 3 а б (а 2 — 2аб + б 2)		1) 3а 4 х (а 2 — 2ах + х 3 — 1) 2) -11а (2а 2 б — а 3 + 5б 2) 3) -0,5 NS 2 Y ( NS Y 3 — 3 NS + y 2) 4) (6B 4 -B 2 + 0,01) (7B 3) (7B 2) (7B 2) (7B 2) . 9. 4). 1/3м 2 (9м 3 н 2 — 15мн) 6) 1,6с 4 (2с 2 д — кд + 5д) 7) 10п 4 (0,7пк — 6,1к — 3,6) 7 90) 5xy (x 2 — 3xy + x 3)

Задания представлены на отдельных карточках и на экране. Каждый ученик выполняет свое задание, находит букву и записывает ее на экране напротив выражения, которое он преобразовал. Если вы получите правильный ответ, вы получите слово: молодец! умники 7а

Частным случаем умножения многочлена на многочлен является умножение многочлена на одночлен. В этой статье мы сформулируем правило выполнения этого действия и разберем теорию на практических примерах.

Правило умножения многочлена на одночлен

Разберемся, что лежит в основе умножения многочлена на одночлен. Это действие основано на распределительном свойстве умножения по отношению к сложению. Буквально это свойство записывается так: (a + b) c = a c + b c (a, b и c — некоторые цифры). В этой записи выражение (a+b)c есть в точности произведение полинома (a+b) и монома c… Правая часть равенства ac+bc есть сумма произведения одночленов и b на одночлен c .

Приведенные выше рассуждения позволяют сформулировать правило умножения многочлена на одночлен:

Определение 1

Для выполнения действия умножения многочлена на одночлен необходимо:

напишите произведение многочлена на одночлен, который надо перемножить;
умножить каждый член полинома на заданный моном;
найти сумму полученных произведений.

Поясним дополнительно приведенный выше алгоритм.

Чтобы составить произведение полинома на моном, исходный полином заключают в круглые скобки; далее между ним и данным мономом ставится знак умножения. В случае, когда написание монома начинается со знака минус, его также необходимо заключать в круглые скобки. Например, произведение многочлена — 4 х 2 + х — 2 и одночлен 7 у запишем как (- 4 х 2 + х — 2) 7 у , а произведение многочлена а 5 б — 6 а Ь и одночлен — 3 а 2 составить в виде: (а 5 б — 6 а б) (- 3 а 2) .

Следующим шагом алгоритма является умножение каждого члена полинома на заданный моном. Компоненты многочлена являются мономами, т.е. фактически нам нужно выполнить умножение одночлена на одночлен. Предположим, что после первого шага алгоритма мы получили выражение (2 х 2 + х + 3) 5 х, затем на втором шаге мы умножаем каждый член многочлена 2 х 2 + х + 3 на одночлен 5 х , таким образом, получаем: 2 х 2 5 х = 10 х 3, х 5 х = 5 х 2 и 3 5 х = 15 х … Результатом будут мономы 10 х 3, 5 х 2 и 15 х .

Последним действием по правилу является добавление полученных работ. Из предложенного примера после выполнения этого шага алгоритма получаем: 10 х 3 + 5 х 2 + 15 х .

По умолчанию все шаги записываются в виде цепочки равенств. Например, находя произведение многочлена 2 х 2 + х + 3 и одночлена 5 х запишем так: (2 х 2 + х + 3) 5 х = 2 х 2 5 х + х 5 х + 3 5 х = 10 х 3 + 5 х 2 + 15 х. Исключая промежуточные вычисления второго шага, короткое решение можно расположить следующим образом: (2 х 2 + х + 3) 5 х = 10 х 3 + 5 х 2 + 15 х.

Рассмотренные примеры позволяют заметить важный нюанс: в результате умножения многочлена на одночлен получается многочлен. Это утверждение верно для любого перемноженного многочлена и монома.

По аналогии производится умножение одночлена на многочлен: данный одночлен умножается на каждый член многочлена и полученные произведения суммируются.

Примеры умножения многочлена на одночлен

Пример 1

Необходимо найти произведение: 1, 4 · х 2 — 3, 5 · у · — 2 7 · х.

Решение

Первый шаг правила уже выполнен — произведение записано. Теперь выполняем следующий шаг, умножая каждый член полинома на заданный моном. В этом случае удобно сначала переводить десятичные дроби из обыкновенных. Тогда получаем:

1, 4 х 2 — 3,5 у — 2 7 х = 1, 4 х 2 — 2 7 х — 3,5 у — 2 7 х = = — 1, 4 2 7 х 2 х + 3, 5 2 7 х у = — 7 5 2 7 х 3 + 7 5 2 7 х у = — 2 5 х 3 + х у

Ответ: 1, 4 х 2 — 3,5 у — 2 7 х = — 2 5 х 3 + х у.

Уточним, что когда исходный многочлен и/или моном заданы в нестандартной форме, перед нахождением их произведения желательно привести их к стандартной форме.

Пример 2

Многочлен 3 + а — 2 а 2 + 3 а — 2 и мономиал — 0,5 а б (- 2) а … Надо найти их работу.

Решение

Видим, что исходные данные представлены в нестандартном виде, поэтому для удобства дальнейших расчетов приведем их к стандартному виду:

— 0,5 a b (- 2) a = (- 0,5 ) (- 2) (а а) b = 1 а 2 b = а 2 b 3 + а — 2 а 2 + 3 а — 2 = (3 — 2) + (а + 3 а) — 2 а 2 = 1 + 4 а — 2 а 2

Теперь выполним умножение одночлена a 2 b для каждого члена многочлена 1 + 4 a — 2 a 2

a 2 b (1 + 4 a — 2 a 2) = a 2 b 1 + a 2 b 4 a + a 2 b (- 2 a 2) = = a 2 B + 4 a 3 b — 2 a 4 b

Мы не могли привести исходные данные к стандартному виду: решение было бы более громоздким. В этом случае на последнем этапе возникнет необходимость привлечения таких членов. Для понимания приведем решение по такой схеме:

— 0,5 а б (- 2) а (3 + а — 2 а 2 + 3 а — 2) = = — 0,5 а б (- 2) а 3 — 0,5 a b (- 2) a a — 0,5 a b (- 2) a (- 2 a 2) — 0,5 a b (- 2) a 3 a — 0,5 a b (- 2) a (- 2) = = 3 a 2 b + a 3 б — 2 а 4 б + 3 а 3 б — 2 а 2 б = а 2 б + 4 а 3 б — 2 а 4 б

Ответ: — 0,5 a b (- 2) a (3 + a — 2 a 2 + 3 a — 2) = a 2 b + 4 a 3 b — 2 a 4 b .

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

§ 1 Умножение многочлена на одночлен

При умножении многочленов мы можем иметь дело с операциями двух видов: умножение многочлен на одночлен и умножение многочлена на многочлен. В этом уроке мы научимся умножать многочлен на одночлен.

Основное правило, которое используется при умножении многочлена на одночлен, это распределительное свойство умножения. Давайте вспомним:

Чтобы умножить сумму на число, вы можете умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения.

Это свойство умножения распространяется и на действие вычитания. В буквальном обозначении свойство распределения умножения выглядит так:

(a + b) ∙ c = ac + bc

(a — b) ∙ c = ac — bc

Рассмотрим пример: многочлен (5ab — 3a2) умножается на одночлен 2b.

Введем новые переменные и обозначим 5ab буквой x, 3a2 буквой y, 2b буквой c. Тогда наш пример примет вид:

(5аb — 3а2) ∙ 2b = (x — y) ∙ с

По закону распределения это равно xc — us. Теперь вернемся к исходному значению новых переменных. Получаем:

5аb∙2b — 3а2∙2b

Теперь приведем полученный полином к стандартному виду. Получаем выражение:

Таким образом, мы можем сформулировать правило:

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и сложить полученные произведения.

То же правило применяется при умножении одночлена на многочлен.

§ 2 Примеры по теме занятия

При умножении многочленов на практике, во избежание путаницы с определением полученных знаков, рекомендуется сначала определить и сразу записать знак произведения, и только затем найдите и запишите произведение чисел и переменных. Вот как это выглядит на конкретных примерах.

Пример 1. (4a2b — 2a) ∙ (-5ab).

Здесь моном — 5аb надо умножить на два монома, из которых состоит полином, 4а2b и — 2а. Первая часть будет со знаком «-», а вторая со знаком «+». Следовательно, решение будет выглядеть так:

(4а2b — 2а) ∙ (-5аb) = — 4а2b ∙ 5аb + 2а ∙ 5аb = -20а3b2 + 10а2b

Пример 2.-xy (2x — 3y +5).

Здесь мы должны выполнить три шага умножения, причем знак первого произведения будет «-«, знак второго «+», знак третьего «-«. Решение выглядит так:

Hu (2x — 3y + 5) = -xy ∙ 2x + xy ∙ 3y — xy ∙ 5 = -2x2y + 3xy2 — 5xy.

Список использованной литературы:

Мордкович А.Г. Алгебра 7 класс в 2 ч. Ч. 1, Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 10-е изд., перераб. — Москва, «Мнемозина», 2007 г.
Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2-х частях, часть 2, Задача для общеобразовательных учреждений / [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича — 10-е издание, переработанное — Москва, «Мнемозина», 2007 г.
ЕЕ. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц-опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические тесты в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельная работа для студентов общеобразовательных учреждений под редакцией Мордковича А.Г. — 6-е издание, шаблонное, Москва, «Мнемозина», 2010

определение, примеры Одинаково равные значения следующих выражений a4

Обе части которых являются тождественно равными выражениями. Идентификаторы делятся на буквенные и числовые.

Тождественные выражения

Два алгебраических выражения называются тождественными (или тождественно равными ), если при любых числовых значениях букв они имеют одинаковое числовое значение. Это, например, выражения:

х (5 + х ) и 5 х + х 2

Оба представленных выражения, при любом значении х будут равны между собой, поэтому их можно назвать тождественными или тождественно равными.

Числовые выражения, равные друг другу, также можно назвать идентичными. Например:

20 — 8 и 10 + 2

Тождества букв и цифр

Тождества букв — это равенство, которое справедливо для любых значений входящих в него букв. Другими словами, такое равенство, при котором обе части являются тождественно равными выражениями, например:

( a + b ) m = am + bm
( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2

Числовое тождество — это равенство, содержащее только числа, выраженные цифрами, в котором обе части имеют одинаковое числовое значение. Например:

4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 (4 + 6) = 50

Преобразования идентичных выражений

Все алгебраические действия представляют собой преобразование одного алгебраического выражения в другое, идентичное первому.

При вычислении значения выражения, раскрытии скобок, вынесении за скобки общего множителя и в ряде других случаев одни выражения заменяются другими, тождественно равными им. Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения . Все преобразования выражений выполняются на основе свойств действий над числами.

Рассмотрим тождественное преобразование выражения на примере вынесения общего множителя за скобки:

10 х — 7 х + 3 х = (10 — 7 + 3) х = 6 x

После того, как мы разобрались с понятием тождеств, мы можем перейти к изучению тождественно равных выражений. Цель этой статьи — объяснить, что это такое, и показать на примерах, какие выражения будут тождественно равны другим.

Тождественно равные выражения: определение

Понятие тождественно равных выражений обычно изучается вместе с самим понятием тождества в рамках школьного курса алгебры. Вот основное определение, взятое из одного учебника:

Определение 1

Тождественно равными друг другу будут такие выражения, значения которых будут одинаковыми при любых возможных значениях переменных, входящих в их состав .

Также тождественно равными считаются такие числовые выражения, которым будут соответствовать одинаковые значения.

Это достаточно широкое определение, которое будет правильным для всех целочисленных выражений, смысл которых не меняется при изменении значений переменных. Однако позже возникает необходимость уточнить это определение, так как помимо целых чисел существуют и другие типы выражений, которые не будут иметь смысла для тех или иных переменных. Отсюда возникает понятие допустимости и недопустимости тех или иных значений переменных, а также необходимость определения диапазона допустимых значений. Сформулируем более точное определение.

Определение 2

Тождественно равные выражения — это такие выражения, значения которых равны друг другу при любых допустимых значениях переменных, входящих в их состав. Числовые выражения будут тождественно равны друг другу, если они имеют одинаковые значения.

Фраза «для любых допустимых значений переменных» относится ко всем тем значениям переменных, для которых оба выражения будут иметь смысл. Мы объясним это положение позже, когда приведем примеры тождественно равных выражений.

Можно также указать следующее определение:

Определение 3

Равно равные выражения — это выражения, расположенные в одном и том же идентификаторе слева и справа.

Примеры выражений, тождественно равных друг другу

Используя приведенные выше определения, рассмотрим несколько примеров таких выражений.

Начнем с числовых выражений.

Пример 1

Итак, 2 + 4 и 4 + 2 будут тождественно равны друг другу, так как их результаты будут равны (6 и 6).

Пример 2

Точно так же тождественно равны выражения 3 и 30: 10, (2 2) 3 и 2 6 (чтобы вычислить значение последнего выражения, нужно знать свойства степени).

Пример 3

Но выражения 4 — 2 и 9 — 1 не будут равны, так как их значения различны.

Перейдем к примерам литеральных выражений. A+b и b+a будут тождественно равны, и это не зависит от значений переменных (равенство выражений в данном случае определяется свойством смещения сложения).

Пример 4

Например, если a равно 4, а b равно 5, результаты останутся теми же.

Другой пример тождественно равных выражений с буквами — 0 x y z и 0. Какими бы ни были значения переменных в этом случае, при умножении на 0 они дадут 0. Неравные выражения — 6 x и 8 x, так как они не будет равным ни для какого x.

В случае совпадения диапазонов допустимых значений переменных, например, в выражениях а + 6 и 6 + а или а b 0 и 0, или х 4 и х, и значений сами выражения будут равны для любых переменных, то такие выражения считаются тождественно равными. Итак, a + 8 = 8 + a для любого значения a, и a b 0 тоже = 0, так как умножение любого числа на 0 дает в конце 0. Выражения x 4 и x будут тождественно равны для любого x из интервала [0, +∞).

Но диапазон достоверности одного выражения может отличаться от диапазона другого.

Пример 5

Например, возьмем два выражения: x — 1 и x — 1 x x. Для первого из них диапазоном допустимых значений х будет все множество действительных чисел, а для второго множество всех действительных чисел, за исключением нуля, потому что тогда мы получим 0 в знаменателе , и такое деление не определено. Эти два выражения имеют общий диапазон значений, образованный пересечением двух отдельных областей. Можно сделать вывод, что оба выражения x — 1 x x и x — 1 будут иметь смысл при любых действительных значениях переменных, кроме 0,9.0003

Основное свойство дроби также позволяет сделать вывод, что х — 1 х х и х — 1 будут равны для любого х, отличного от 0. Это означает, что в общем диапазоне допустимых значений эти выражения будут тождественно равны между собой, и ни для какого действительного х нельзя говорить об тождественном равенстве.

Если заменить одно выражение другим, тождественно равным ему, то этот процесс называется тождественным преобразованием. Это понятие очень важно, и мы подробно поговорим о нем в отдельной статье.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

Говорят, что два выражения тождественно равны на множестве, если они имеют смысл на этом множестве и все их соответствующие значения равны.

Равенство, в котором левая и правая части являются тождественно равными выражениями, называется тождеством.

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему на данном множестве, называется идентичное преобразование выражения.

Задача. Найти область выражения.

Раствор. Так как выражение является дробью, то для нахождения его области определения необходимо найти те значения переменной НС , при которых знаменатель обращается в нуль, и исключить их. Решая уравнение НС 2 — 9 = 0, находим, что НС = -3 и НС = 3. Следовательно, область определения этого выражения состоит из всех чисел, кроме -3 и 3. Если обозначить его к NS , то можно написать:

NS = (- ¥; -3) È (-3; 3) È (3; + ¥).

Задача. Выражения и NS — 2 тождественно равны: а) на множестве R ; б) на множестве ненулевых целых чисел?

Раствор. а) На множестве R эти выражения не тождественно равны, так как для NS = 0 выражение неактуально, а выражение NS — 2 имеет значение -2.

б) На множестве ненулевых целых чисел эти выражения тождественно равны, так как = .

Задача. При каких значениях НС следующие равенства являются тождествами:

а) ; б).

Раствор. а) Равенство есть тождество, если;

б) Равенство есть тождество, если.

Получив представление об идентичностях, логично перейти к знакомству с . В этой статье мы ответим на вопрос, что такое тождественно равные выражения, а также на примерах разберемся, какие выражения тождественно равны, а какие нет.

Навигация по страницам.

Что такое тождественно равные выражения?

Определение тождественно равных выражений дается параллельно с определением тождества. Это происходит на уроках алгебры в 7 классе. В учебнике по алгебре для 7 классов автора Ю.Н. Макарычева дана следующая формулировка:

Определение.

Являются выражениями, значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных. Числовые выражения, имеющие одинаковые значения, также называются тождественно равными.

Это определение используется до 8 класса, оно справедливо для целочисленных выражений, так как они имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных. А в 8 классе уточняется определение тождественно равных выражений. Поясним, с чем это связано.

В 8 классе начинается изучение других видов выражений, которые, в отличие от целочисленных выражений, при некоторых значениях переменных могут не иметь смысла. Это заставляет ввести определения допустимых и недопустимых значений переменных, а также диапазона допустимых значений ОДЗ переменной и, как следствие, уточнить определение тождественно равных выражений.

Определение.

Два выражения, значения которых равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных, называются тождественно равными выражениями . Два числовых выражения, имеющих одинаковое значение, также называются тождественно равными.

В этом определении тождественно равных выражений стоит уточнить смысл фразы «для всех допустимых значений входящих в них переменных». Под ним подразумеваются все такие значения переменных, для которых оба тождественно равных выражения имеют смысл одновременно. Мы проясним эту идею в следующем параграфе, рассматривая примеры.

Определение тождественно равных выражений в учебнике А.Г. Мордковича дано несколько иначе:

Определение.

Тождественно равные выражения Выражения слева и справа от тождества.

Значение этого и предыдущего определений совпадают.

Примеры тождественно равных выражений

Определения, введенные в предыдущем абзаце, позволяют нам привести примеров тождественно равных выражений .

Начнем с тождественно равных числовых выражений. Числовые выражения 1 + 2 и 2 + 1 тождественно равны, так как им соответствуют равные значения 3 и 3. Также тождественно равны выражения 5 и 30:6, как и выражения (2 2) 3 и 2 6 (т.е. значения последних выражений равны по силе). Но числовые выражения 3+2 и 3−2 тождественно не равны, так как им соответствуют значения 5 и 1 соответственно, и они не равны.

Теперь приведем примеры тождественно равных выражений с переменными. Это выражения a + b и b + a. Действительно, при любых значениях переменных a и b написанные выражения принимают одинаковые значения (что следует из цифр). Например, для a = 1 и b = 2 имеем a + b = 1 + 2 = 3 и b + a = 2 + 1 = 3. При любых других значениях переменных a и b также получаем равные значения этих выражений. Выражения 0 x y z и 0 также тождественно равны при любых значениях переменных x, y и z. Но выражения 2 х и 3 х не тождественно равны, так как, например, при х = 1 их значения не равны. Действительно, при x = 1 выражение 2 x равно 2 1 = 2, а выражение 3 x равно 3 1 = 3,

Когда диапазоны допустимых значений переменных в выражениях совпадают, как, например, в выражениях а + 1 и 1 + а, или а б 0 и 0, или и, и значения этих выражений равны для всех значений переменных из этих областей, то тут все ясно — эти выражения тождественно равны для всех допустимых значений переменных, входящих в них. Итак, а + 1≡1 + а для любого а, выражения а · b · 0 и 0 тождественно равны при любых значениях переменных а и b, а выражения и тождественно равны при всех х из; изд. С. А. Теляковский. — 17-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 240 с. : больной. — ИСБН 978-5-09-019315-3.

Алгебра: учёба. за 8 кл. общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд.

С. А. Теляковский. — 16-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.

А. Г. Мордкович Алгебра. 7-й класс. В 14 ч. Ч. 1. Учебник для студентов общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 17-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2013. – 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.

Рассмотрим два равенства:

1.a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Это равенство будет выполняться при любых значениях переменной a. Диапазоном допустимых значений для этого равенства будет весь набор действительных чисел.

2.а 12: а 3 = а 2 * а 7.

Это неравенство будет выполняться для всех значений переменной а, кроме а равного нулю. Диапазоном допустимых значений этого неравенства будет весь набор действительных чисел, кроме нуля.

Каждое из этих равенств можно считать верным для любых допустимых значений переменных a. Такие равенства в математике называются тождествами .

Понятие тождества

Тождество — это равенство, истинное для любых допустимых значений переменных. Если в это равенство вместо переменных подставить какие-либо допустимые значения, то должно получиться правильное числовое равенство.

Стоит отметить, что истинные числовые равенства также являются тождествами. Тождества, например, будут свойствами действий над числами. 92*б) и -а 3*б 2;

3. ((x 3 * x 8) / x) и x 10.

Мы всегда можем заменить одно выражение любым другим выражением, тождественно равным первому. Такая замена будет тождественной трансформацией.

Примеры тождеств

Пример 1: равны ли следующие равенства:

1.а + 5 = 5 + а;

2.а * (- б) = -а * б;

3,3 * а * 3 * Ь = 9 * а * Ь;

Не все приведенные выше выражения будут тождествами. Из этих равенств только 1, 2 и 3 равенства являются тождествами. Какие бы числа мы в них не подставляли, вместо переменных a и b мы все равно получим правильные числовые равенства.

Но 4 равенство больше не тождество. Потому что это равенство не будет выполняться для всех допустимых значений. Например, для значений a = 5 и b = 2 вы получите следующий результат:

Это равенство неверно, так как число 3 не равно числу -3.

определение, примеры. Примеры тождественно равных друг другу выражений

Получив представление о тождествах, логично перейти к знакомству с . В этой статье мы ответим на вопрос, что такое тождественно равные выражения, а также на примерах разберемся, какие выражения тождественно равны, а какие нет.

Навигация по страницам.

Что такое тождественно равные выражения?

Определение тождественно равных выражений дается параллельно с определением тождества. Это происходит на уроке алгебры в 7 классе. В учебнике по алгебре для 7 классов автор Ю. Н. Макарычев дает следующую формулировку:

Определение.

— это выражения, значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных. Числовые выражения, соответствующие одинаковым значениям, также называются тождественно равными.

Это определение используется до класса 8, оно справедливо для целочисленных выражений, так как они имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных. А в 8 классе уточняется определение тождественно равных выражений. Поясним, с чем это связано.

В 8 классе начинается изучение других видов выражений, которые, в отличие от целочисленных выражений, могут не иметь смысла для некоторых значений переменных. Это заставляет ввести определения допустимых и недопустимых значений переменных, а также диапазона допустимых значений ОДВ переменной и, как следствие, уточнить определение тождественно равных выражений.

Определение.

Два выражения, значения которых равны при всех допустимых значениях их переменных, называются тождественно равными выражениями . Два числовых выражения, имеющие одинаковое значение, также называются тождественно равными.

В этом определении тождественно равных выражений стоит уточнить смысл фразы «для всех допустимых значений входящих в них переменных». Под ним подразумеваются все такие значения переменных, для которых одновременно имеют смысл оба тождественно равных выражения. Эта идея будет разъяснена в следующем разделе на примерах.

Определение тождественно равных выражений в учебнике А. Г. Мордковича дано несколько иначе:

Определение.

Идентичные равные выражения — это выражения слева и справа от тождества.

По смыслу это и предыдущее определения совпадают.

Примеры тождественно равных выражений

Определения, введенные в предыдущем подразделе, позволяют привести примеров тождественно равных выражений .

Начнем с тождественно равных числовых выражений. Числовые выражения 1+2 и 2+1 тождественно равны, потому что они соответствуют равным значениям 3 и 3. Выражения 5 и 30:6 также тождественно равны, как и выражения (2 2) 3 и 2 6 (значения последних выражений равны благодаря ). Но числовые выражения 3+2 и 3−2 не тождественно равны, так как они соответствуют значениям 5 и 1 соответственно, но они не равны.

Теперь приведем примеры тождественно равных выражений с переменными. Это выражения a+b и b+a . Действительно, при любых значениях переменных a и b записанные выражения принимают одни и те же значения (что следует из цифр). Например, с a=1 и b=2 мы имеем a+b=1+2=3 и b+a=2+1=3 . При любых других значениях переменных a и b мы также получим равные значения этих выражений. Выражения 0·x·y·z и 0 также тождественно равны при любых значениях переменных x, y и z. Но выражения 2 х и 3 х не тождественно равны, так как, например, при х=1 их значения не равны. Действительно, при x=1 выражение 2 x равно 2 1=2 , а выражение 3 x равно 3 1=3 .

Когда области допустимых значений переменных в выражениях совпадают, как, например, в выражениях а+1 и 1+а , или а б 0 и 0 , или и , и значения этих выражений равны равны для всех значений переменных из этих областей, то здесь все ясно — эти выражения тождественно равны для всех допустимых значений переменных, входящих в них. Итак, a+1≡1+a для любого a , выражения a b 0 и 0 тождественно равны при любых значениях переменных a и b , а выражения и тождественно равны при всех x из ; изд. С. А. Теляковский. — 17-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 240 с. : больной. — ИСБН 978-5-09-019315-3.

Алгебра: учебник на 8 кл. общеобразовательные учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.

Мордкович А. Г. Алгебра. 7-й класс. В 14 ч. Ч. 1. Учебник для студентов общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 17-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2013. – 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.

Обе части которого являются тождественно равными выражениями. Тождества делятся на буквы и цифры.

Тождественные выражения

х (5 + х ) и 5 х + х 2

Оба представленных выражения при любом значении x будут равны друг другу, поэтому их можно назвать тождественными или тождественно равными.

Числовые выражения, равные друг другу, также можно назвать идентичными. Например:

20 — 8 и 10 + 2

Буквенные и числовые тождества

Буквенное тождество есть равенство, справедливое для любых значений входящих в него букв. Другими словами, такое равенство, при котором обе части являются тождественно равными выражениями, например:

( a + b ) m = am + bm
( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2

Числовой идентификатор — это равенство, содержащее только числа, выраженные цифрами, в котором обе части имеют одинаковое числовое значение. Например:

4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 (4 + 6) = 50

Тождественные преобразования выражений

Все алгебраические операции представляют собой преобразование одного алгебраического выражения в другое, идентичное первому.

При вычислении значения выражения, раскрытии скобок, вынесении общего множителя за скобки и в ряде других случаев одни выражения заменяются другими, тождественно равными им. Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения . Все преобразования выражений выполняются на основе свойств операций над числами.

Рассмотрим тождественное преобразование выражения на примере выноса общего множителя за скобки:

10 х — 7 х + 3 х = (10 — 7 + 3) х = 6 x

Рассмотрим два равенства:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Это равенство выполняется для любого значения переменной a. Диапазоном допустимых значений для этого равенства будет весь набор действительных чисел.

2. а 12: а 3 = а 2 * а 7 .

О каждом из этих равенств можно утверждать, что оно будет верным при любых допустимых значениях переменных а. Такие уравнения в математике называются тождествами .

Понятие тождества

Тождество – это равенство, истинное при любых допустимых значениях переменных. Если в это равенство вместо переменных подставить какие-либо допустимые значения, то должно получиться правильное числовое равенство.

Стоит отметить, что истинные числовые равенства также являются тождествами. Тождества, например, будут свойствами действий над числами.

3. а + b = b + а;

4. а + (б + в) = (а + б) + в;

6. а*(б*с) = (а*б)*с;

7. а*(б + с) = а*б + а*с;

11. а*(-1) = -а.

Если два выражения для любых допустимых переменных соответственно равны, то такие выражения называются тождественно равными . Ниже приведены несколько примеров тождественно равных выражений: 92*b) и -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) и x 10 .

Примеры тождеств

Пример 1: Являются ли следующие равенства тождеств:

1. а + 5 = 5 + а;

2. а*(-б) = -а*б;

3. 3*а*3*б = 9*а*б;

Не все приведенные выше выражения будут тождествами. Из этих равенств только 1,2 и 3 равенства являются тождествами. Какие бы числа мы в них не подставляли, вместо переменных a и b мы все равно получаем правильные числовые равенства.

Но 4 равенство больше не тождество. Потому что не для всех допустимых значений это равенство будет выполняться. Например, при значениях a = 5 и b = 2 вы получите следующий результат:

Это равенство неверно, так как число 3 не равно числу -3.

Разобравшись с понятием тождеств, можно перейти к изучению тождественно равных выражений. Цель этой статьи — объяснить, что это такое, и показать на примерах, какие выражения будут тождественно равны другим.

Тождественно равные выражения: определение

Определение 1

тождественно равны друг другу будут такие выражения, значения которых будут одинаковыми для любых возможных значений переменных, входящих в их число. сочинение.

Также тождественно равными считаются такие числовые выражения, которые будут соответствовать одинаковым значениям.

Это достаточно широкое определение, которое будет верным для всех целочисленных выражений, смысл которых не меняется при изменении значений переменных. Однако позже возникает необходимость уточнить это определение, поскольку помимо целых чисел существуют и другие виды выражений, которые не будут иметь смысла с некоторыми переменными. Отсюда возникает понятие допустимости и недопустимости тех или иных значений переменных, а также необходимость определения диапазона допустимых значений. Сформулируем уточненное определение.

Определение 2

Идентичные равные выражения — это такие выражения, значения которых равны друг другу при любых допустимых значениях переменных, входящих в их состав. Числовые выражения будут тождественно равны друг другу при условии, что значения совпадают.

Фраза «при любых допустимых значениях переменных» указывает на все те значения переменных, при которых оба выражения будут иметь смысл. Мы поясним это положение позже, когда приведем примеры тождественно равных выражений.

Можно также указать следующее определение:

Определение 3

Идентичные равные выражения — это выражения, расположенные в одном и том же идентификаторе слева и справа.

Примеры выражений, тождественно равных друг другу

Используя определения, данные выше, рассмотрим несколько примеров таких выражений.

Начнем с числовых выражений.

Пример 1

Таким образом, 2 + 4 и 4 + 2 будут тождественно равны друг другу, так как их результаты будут равны (6 и 6).

Пример 2

Точно так же тождественно равны выражения 3 и 30: 10 , (2 2) 3 и 2 6 (для вычисления значения последнего выражения нужно знать свойства степени) .

Пример 3

Но выражения 4 — 2 и 9 — 1 не будут равны, так как их значения различны.

Перейдем к примерам литеральных выражений. A + b и b + a будут тождественно равны, и это не зависит от значений переменных (равенство выражений в данном случае определяется коммутативным свойством сложения).

Пример 4

Например, если a равно 4, а b равно 5, результаты останутся теми же.

Другой пример тождественно равных выражений с буквами: 0 · x · y · z и 0 . Какими бы ни были значения переменных в этом случае, при умножении на 0 они дадут 0. Неравные выражения — это 6 x и 8 x, потому что они не будут равны ни для какого x.

В том случае, если диапазоны допустимых значений переменных будут совпадать, например, в выражениях а + 6 и 6 + а или а b 0 и 0, или х 4 и х, и значения сами выражения будут равны для любых переменных, то такие выражения считаются тождественно равными. Итак, a + 8 = 8 + a для любого значения a, и a · b · 0 тоже = 0, так как при умножении любого числа на 0 получается 0. Выражения x 4 и x будут тождественно равны для любого x из интервал [ 0 , + ∞) .

Но область допустимого значения в одном выражении может отличаться от области действия другого.

Пример 5

Например, возьмем два выражения: x — 1 и x — 1 · x x . Для первого из них диапазоном допустимых значений х будет все множество действительных чисел, а для второго множество всех действительных чисел, кроме нуля, потому что тогда в знаменателе мы получим 0, а такое деление не определено. Эти два выражения имеют общий диапазон, образованный пересечением двух отдельных диапазонов. Можно сделать вывод, что оба выражения x — 1 · x x и x — 1 будут иметь смысл при любых действительных значениях переменных, кроме 0 .

Основное свойство дроби также позволяет нам заключить, что x-1 x x и x-1 будут равны для любого x, отличного от 0. Это означает, что эти выражения будут тождественно равны друг другу в общем диапазоне допустимых значений, и при любом вещественном x нельзя говорить об тождественном равенстве.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl+Enter

Два выражения называются тождественно равными в наборе, если они имеют смысл в этом наборе и все их соответствующие значения равны.

Задание. Найти область выражения.

Решение. Так как выражение является дробью, то для нахождения его области действия нужно найти те значения переменной X , у которых знаменатель равен нулю, и исключить их. Решая уравнение X 2 — 9 = 0, находим, что X = -3 и X = 3. Следовательно, область определения этого выражения состоит из всех чисел, кроме -3 и 3. Если обозначить это к X , то мы можем написать:

X = (-¥; -3) È (-3; 3) È (3; +¥).

Задание. Являются ли выражения и X — 2 тождественно равными: а) на множестве R ; б) на множестве ненулевых целых чисел?

Решение. а) на множестве R эти выражения не тождественно равны, так как при X = 0 выражение не имеет значения, а выражение X — 2 имеет значение -2.

б) На множестве целых чисел, отличных от нуля, эти выражения тождественно равны, так как = . 92-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ и т. д.) Сходство этих понятий состоит в том, что и в многочленах, и в алгебраических дробях присутствуют переменные и числовые значения, арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, возведение в степень Отличие этих понятий в том, что в многочленах деление на переменную не производится, а в алгебраических дробях деление на переменную может производиться.

И многочлены, и алгебраические дроби в математике называются рациональными алгебраическими выражениями. Но многочлены — это целочисленные рациональные выражения, а алгебраические дробные выражения — это дробно-рациональные выражения. 92-4x+4)(x-2)$ и $x-2\$ можно считать одинаковыми не для всех значений переменной, так как для существования дробно-рационального выражения и для приведения к чтобы многочлен $x-2$ был возможен, знаменатель дроби не должен быть равен $0$ (как и множитель, на который мы уменьшаем. В данном примере знаменатель и множитель совпадают, но это не всегда случай).

Значения переменных, для которых будет существовать алгебраическая дробь, называются допустимыми значениями переменных. 92-4x+4)(x-2)$ и $x-2$ идентичны для всех значений переменной, кроме $2$.

Определение 1

тождественно равные Выражения — это те, которые равны для всех возможных значений переменной.

Тождественное преобразование — это любая замена исходного выражения тождественно равным. К таким преобразованиям относятся выполнение действий: сложение, вычитание, умножение, вынесение общего множителя за скобки, приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, приведение алгебраических дробей, приведение однородных членов и т. д. Необходимо учитывать, что ряд преобразований , такие как сокращение, сокращение однородных членов, может изменять допустимые значения переменной.

Методы, используемые для подтверждения тождества

Преобразование левой части тождества в правую или наоборот с помощью преобразования тождества

Свести обе части к одному выражению с помощью идентичных преобразований

Перенесите выражения из одной части выражения в другую и докажите, что полученная разность равна $0$

Какой из вышеперечисленных методов использовать для подтверждения личности, зависит от исходной личности. 92$

Обратите внимание, что полученное выражение показывает, что исходное тождество истинно.

Обратите внимание, что в исходной идентичности разрешены все значения переменной, а это значит, что мы доказали идентичность с помощью одинаковых преобразований, и она верна для всех допустимых значений переменной.

Рассмотрим два равенства:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Это равенство выполняется при любом значении переменной a. Диапазоном допустимых значений для этого равенства будет весь набор действительных чисел.

2. а 12: а 3 = а 2 * а 7 .

Понятие тождества

3. а + b = b + а;

4. а + (б + в) = (а + б) + в;

6. а*(б*с) = (а*б)*с;

7. а*(б + с) = а*б + а*с;

11. а*(-1) = -а.

3. ((x 3 *x 8)/x) и x 10 .

Примеры тождеств

Пример 1: Являются ли следующие равенства тождеств:

1. а + 5 = 5 + а;

2. а*(-б) = -а*б;

3. 3*а*3*б = 9*а*б;

Не все приведенные выше выражения будут тождествами. Из этих равенств только 1,2 и 3 равенства являются тождествами. Какие бы числа мы в них не подставляли, вместо переменных a и b мы все равно получаем правильные числовые равенства.

Это равенство неверно, так как число 3 не равно числу -3.

Яндекс.РТБ Р-А-339285-1

Тождественно равные выражения: Определение

Определение 1

Кроме того, следующие считаются тождественно равными. числовые выражения, которые будут соответствовать одним и тем же значениям.

Это достаточно широкое определение, которое будет верным для всех целочисленных выражений, смысл которых не меняется при изменении значений переменных. Однако позже возникает необходимость уточнить это определение, так как существуют и другие типы выражений, помимо целых чисел, которые не будут иметь смысла с некоторыми переменными. Отсюда возникает понятие допустимости и недопустимости тех или иных значений переменных, а также необходимость определения диапазона допустимых значений. Сформулируем уточненное определение.

Определение 2

Можно также указать следующее определение:

Определение 3

Идентичные равные выражения — это выражения, расположенные в одном и том же идентификаторе слева и справа.

Примеры выражений, тождественно равных друг другу

Используя определения, данные выше, рассмотрим несколько примеров таких выражений.

Начнем с числовых выражений.

Пример 1

Таким образом, 2 + 4 и 4 + 2 будут тождественно равны друг другу, так как их результаты будут равны (6 и 6).

Пример 2

Пример 3

Но выражения 4 — 2 и 9 — 1 не будут равны, так как их значения различны.

Пример 4

Например, если a равно 4, а b равно 5, результаты останутся теми же.

Но область допустимого значения в одном выражении может отличаться от области действия другого.

Пример 5

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl+Enter

Навигация по страницам.

Что такое тождественно равные выражения?

Определение тождественно равных выражений дается параллельно с определением тождества. Это происходит на уроке алгебры в 7 классе. В учебнике по алгебре для 7 классов автор Ю. Н. Макарычев приводит следующую формулировку:

Определение.

— это выражения, значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных. Числовые выражения, отвечающие одинаковыми значениями, также называются тождественно равными.

Определение.

Два выражения, значения которых равны при всех допустимых значениях их переменных, называются тождественно равные выражения . Два числовых выражения, имеющие одинаковое значение, также называются тождественно равными.

В этом определении тождественно равных выражений стоит уточнить смысл фразы «для всех допустимых значений входящих в них переменных». Под ним подразумеваются все такие значения переменных, для которых одновременно имеют смысл оба тождественно равных выражения. Эта идея будет разъяснена в следующем разделе на примерах.

Определение тождественно равных выражений в учебнике А. Г. Мордковича дано несколько иначе:

Определение.

Идентичные равные выражения — это выражения слева и справа от тождества.

По смыслу это и предыдущее определения совпадают.

Примеры тождественно равных выражений

Начнем с тождественно равных числовых выражений. Числовые выражения 1+2 и 2+1 тождественно равны, потому что они соответствуют равным значениям 3 и 3. Выражения 5 и 30:6 также тождественно равны, как и выражения (2 2) 3 и 2 6 (значения последних выражений равны по силе). Но числовые выражения 3+2 и 3−2 не тождественно равны, так как они соответствуют значениям 5 и 1 соответственно, но они не равны.

Мордкович А. Г. Алгебра. 7-й класс. В 14 ч. Ч. 1. Учебник для студентов общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 17-е изд.

Поиск материала «Алгебра — 8 класс — Задачник

Search results:

— Алгебра. 8 класс. Задачник — Мордкович А. Г, и др

Источники:

Алгебра 8 Мордкович (упр. 1 — 34)

Источники:

Источники:

Алгебра 8 класс Мордкович

ГДЗ По Алгебре 8 Класс 2020 Мордкович – Telegraph

Умножение многочлена на одночлен.

Правило умножения многочлена на одночлен

Примеры умножения многочлена на одночлен

определение, примеры Одинаково равные значения следующих выражений a4

Тождественные выражения

Тождества букв и цифр

Преобразования идентичных выражений

Тождественно равные выражения: определение

Примеры выражений, тождественно равных друг другу

Что такое тождественно равные выражения?

Примеры тождественно равных выражений

Понятие тождества

Примеры тождеств

определение, примеры. Примеры тождественно равных друг другу выражений

Что такое тождественно равные выражения?

Примеры тождественно равных выражений

Тождественные выражения

Буквенные и числовые тождества

Тождественные преобразования выражений

Понятие тождества

Примеры тождеств

Тождественно равные выражения: определение

Примеры выражений, тождественно равных друг другу

Методы, используемые для подтверждения тождества

Понятие тождества

Примеры тождеств

Тождественно равные выражения: Определение

Примеры выражений, тождественно равных друг другу

Что такое тождественно равные выражения?

Примеры тождественно равных выражений

Оставить комментарий Отменить ответ