Основные правила математики. 8 класс алгебра
Основные правила математики. 8 класс алгебра
Содержание
- Рациональные выражения
- Тождественно равные выражения. Тождества
- Основное свойство рациональной дроби
- Степень. Свойства степени с натуральным показателем
- Степень. Степень с целым отрицательным показателем
- Степень. Свойства степени с целым показателем
- Стандартный вид числа
- Квадратные корни. Арифметический квадратный корень
- Свойства арифметического квадратного корня
- Квадратные уравнения
- Теорема Виета
- Теорема, обратная теореме Виета
- Квадратный трёхчлен
- Множество. Операции над множествами
Рациональные выражения
Целые и дробные выражения вместе образуют рациональные выражения.
Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл.
Тождественно равные выражения. Тождества
Выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными.
Равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных, называют тождеством.
Основное свойство рациональной дроби
Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же многочлен, тождественно не равный нулю, то получим дробь, тождественно равную данной.
Степень. Свойства степени с натуральным показателем
Степенью числа с натуральным показателем , большим 1, называют произведение множителей, каждый из которых равен :
Число при этом называют основанием степени.
Степенью числа с показателем 1 называют само число
[ads2]
Степень. Степень с целым отрицательным показателем
Для любого числа , не равного нулю, и натурального числа
Для любого числа , не равного нулю, .
Выражение при целых , меньших или равных нулю, не имеет смысла.
Степень. Свойства степени с целым показателем
Для любого и любых целых , выполняются равенства:
Для любых , и любого целого выполняются равенства:
Стандартный вид числа
Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения и — целое число. Число называют порядком числа, записанного в стандартном виде.
Квадратные корни. Арифметический квадратный корень
Квадратным корнем из числа называют число, квадрат которого равен .
Арифметическим квадратным корнем из числа называют неотрицательное число, квадрат которого равен .
Арифметический квадратный корень из числа обозначают
Знак называют знаком квадратного корня или радикалом.
Выражение, стоящее под знаком радикала, называют подкоренным выражением. Из определения арифметического квадратного корня следует, что подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения.
Если , то
Для любого неотрицательного числа справедливо, что и
Свойства арифметического квадратного корня
Для любого действительного числа выполняется равенство
Для любого действительного числа и натурального числа выполняется равенство
Для любых действительных чисел и таких, что и , выполняется равенство
Для любых действительных чисел и таких, что и , выполняется равенство
Для любых неотрицательных чисел и таких, что > выполняется неравенство
Квадратные уравнения
Квадратным уравнением называют уравнение вида
,
где — переменная, и — некоторые числа, причём .
Выражение
называют дискриминантом квадратного уравнения и обозначают буквой ,т.е.
- Если , то квадратное уравнение корней не имеет.
- Если , то квадратное уравнение имеет один корень
- Если . то квадратное уравнение имеет два корня:
Применяют короткую форму записи:
Теорема Виета
Если и — корни квадратного уравнения
Если и — корни приведённого квадратного уравнения , то
и
Теорема, обратная теореме Виета
Если числа и , то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения
Квадратный трёхчлен
Квадратным трёхчленом называют многочлен вида
где — переменная, и — некоторые числа, причём .
Число = называют дискриминантом квадратного трёхчлена
Если дискриминант квадратного трёхчлена положительный, то данный трёхчлен можно разложить на линейные множители:
, где и — корни квадратного трёхчлена.
Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то считают, что квадратный трёхчлен имеет два равных корня, т.е. . В этом случае разложение квадратного трёхчлена на множители имеет такой вид:
Если дискриминант квадратного трёхчлена отрицательный, то данный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители.
Множество. Операции над множествами
Объекты, составляющие данное множество, называют элементами этого множества.
Множество можно задать:
- перечислением, записав его элементы в фигурных скобках через запятую;
- указанием характеристического свойства элементов множества, т. е. свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.
Если принадлежит множеству , то пишут . Если не принадлежит множеству , то пишут
Два множества и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.
е. каждый элемент множества принадлежит множеству и наоборот, каждый элемент множества принадлежит множеству .
Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают символом .
Множество называют подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества .
Пересечением множеств и называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству , и множеству .
Объединением множеств и называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: или множеству , или множеству .
Данная информация взята из УМК А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир
Алгебра 8 Контрольные (Макарычев Ю.Н)
Администратор
Алгебра 8 Контрольные (Макарычев Ю.Н). Задания, решения и ответы на контрольные работы из учебного пособия: «Алгебра 8 класс.
Дидактические материалы/ В.И. Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк — М.:Просвещение». Представленные ниже контрольные работы ориентированы на учебник «Алгебра 8» авторов
Алгебра 8 Контрольные работы
(УМК Макарычев Ю.
Н. и др.)КР-1. Тема: §1. Рациональные дроби и их свойства. §2. Сумма и разность дробей.
КР-1 Вариант 1 КР-1 Вариант 2 КР-1 Вариант 3 КР-1 Вариант 4
КР-2. Проверяемая тема: §3. Произведение и частное дробей.
КР-2 Вариант 1 КР-2 Вариант 2 КР-2 Вариант 3 КР-2 Вариант 4
КР-3: §5. Арифметический квадратный корень. §6. Свойства арифметического квадратного корня.
КР-3 Вариант 1 КР-3 Вариант 2 КР-3 Вариант 3 КР-3 Вариант 4
КР-4: §7. Применение свойств арифметического квадратного корня.
КР-4 Вариант 1 КР-4 Вариант 2 КР-4 Вариант 3 КР-4 Вариант 4
КР-5: §8. Квадратное уравнение и его корни.
КР-5 Вариант 1 КР-5 Вариант 2 КР-5 Вариант 3 КР-5 Вариант 4
КР-6: §9. Дробные рациональные уравнения.
КР-6 Вариант 1 КР-6 Вариант 2 КР-6 Вариант 3 КР-6 Вариант 4
КР-7: §10. Числовые неравенства и их свойства.
КР-7 Вариант 1 КР-7 Вариант 2 КР-7 Вариант 3 КР-7 Вариант 4
КР-8: §11.
Неравенства с одной переменной и их системы.
КР-8 Вариант 1 КР-8 Вариант 2 КР-8 Вариант 3 КР-8 Вариант 4
КР-9: §12. Степень с целым показателем и её свойства.
КР-9 Вариант 1 КР-9 Вариант 2 КР-9 Вариант 3 КР-9 Вариант 4
КР-10: Итоговая контрольная работа за 8 класс
К-10 Вариант 1 К-10 Вариант 2 К-10 Вариант 3 К-10 Вариант 4
Смотрите также другие материалы по УМК Макарычев Ю.Н. для 8 класса:
УМК МАКАРЫЧЕВ: Жохов Дидактические материалы — Самостоятельные (57 СР)
УМК МАКАРЫЧЕВ: Глазков. Контрольно измерительные работы (10 КР)
УМК МАКАРЫЧЕВ: Дудницын. Тематические тесты для 8 класса
УМК МАКАРЫЧЕВ: Рурукин. Поурочные разработки: Контрольные (10 КР)
УМК МАКАРЫЧЕВ (угл.): Карачинский. Самостоятельные и контрольные работы 8 кл
Другие контрольные работы по алгебре в 8 классе:
УМК МЕРЗЛЯК: Дидактические материалы: Контрольные работы (7 КР)
УМК МЕРЗЛЯК: Дидактические материалы: Самостоятельные работы (28 СР)
УМК МЕРЗЛЯК (угл.
): КиСР — Контрольные работы. 8 кл (10 КР)УМК МОРДКОВИЧ: Попов М.А. Дидактические материалы: Контрольные работы (7 КР)
УМК МОРДКОВИЧ: Александрова. Контрольные работы в 8 классе
УМК МОРДКОВИЧ: Домашние контрольные работы из учебника «Алгебра 8 класс. Часть 2-я»
УМК НИКОЛЬСКИЙ (МГУ — школе): Потапов. Дидактические материалы — Контрольные (7 КР)
УМК ДОРОФЕЕВ: Кузнецова и др. Контрольные работы для 8 класса (9 КР)
УМК АЛИМОВ: Жохов и др. Дидактические материалы — Контрольные работы (9 КР)
Вы смотрели страницу Контрольные работы по Алгебре в 8 классе (по учебнику Макарычева Ю.Н.).
Вернуться на страницу «Алгебра 8 класс»
Вас могут заинтересовать…
Математические игры для 8-го класса | Математические навыки в восьмом классе
Как это работает
Узнайте, как ST Math может помочь вашим ученикам.
Результаты по всей стране
ST Math дает воспроизводимые результаты в любом масштабе.
Играйте бесплатно в избранные игры из программы ST Math для восьмого класса. Концепции включают показатели, построение графиков линейных уравнений и решение линейных уравнений.
Целочисленные показатели
Представьте модель экспоненциального роста, используя показатели степени и экспоненциальное представление.
- Представление визуальных моделей экспоненциального изменения с целыми показателями.
- Интерпретируйте экспоненциальные функции как модели визуального роста (положительные целые числа) или модели сокращения (отрицательные целые числа).
- Уровни начинаются с положительного экспоненциального роста и переходят к просмотру отрицательных целых чисел как обратной функции.
- Уровень 1
- Уровень 2
- Уровень 3
- Уровень 4
- Уровень 5
- Уровень 6
Графики линейных всплывающих подсказок
Измените значения наклона и точки пересечения с осью Y, чтобы всплывающие подсказки отображались на прямой линии.
- Управляйте значениями пересечения оси Y, образующими линию, проходящую через воздушные шары, нанесенные на график.
- Измените точку пересечения оси Y и наклон на графике и посмотрите, как изменяются значения в линейном уравнении в форме точки пересечения наклона.
- Уровни начинаются с визуального манипулирования точкой пересечения оси Y, чтобы заданная линия лопнула воздушные шары, и переходят к сравнению изменений на графике с изменениями в соответствующем уравнении.
- Уровень 1
- Уровень 2
- Уровень 3
- Уровень 4
Linear Balloons Tables
Заполните значения таблицы и нанесите точки, используя линейное уравнение.
- Решите линейные уравнения, используя таблицу в форме пересечения наклона.
- Представлять линейные уравнения с помощью таблиц и графиков.
- Уровни начинаются с нахождения значения y в таблице, а затем переходят к построению точек с использованием линейных уравнений и значений y.
- Уровень 1
- Уровень 2
- Уровень 3
- Уровень 4
- Уровень 5
График модели с уравнением
Найдите значение наклона и точки пересечения с координатой Y в линейных уравнениях по графику линии.
- Интерпретировать наклон линии и точку пересечения по оси Y и представить их в виде линейного уравнения в форме точки пересечения с наклоном.
- Используйте изменения значений x и y для определения наклона линии и точки пересечения линии с осью y как точки, где x=0.
- Уровни начинаются с наклона = 1 и y-пересечения в начале координат и переходят к более сложным наклонам и y-пересечениям.
- Уровень 1
- Уровень 2
Решение линейных уравнений
Решение визуальных уравнений вида px = r, где p и x — положительные рациональные числа (формы a/b).
- Визуальные головоломки представляют собой двухшаговые задачи, в которых учащиеся работают в обратном порядке от заданного общего количества необходимых блоков и выбирают начальное количество блоков.
- Используйте визуальную модель, чтобы рассуждать о линейных отношениях px = r, где p и x — рациональные числа.
- Уровни начинаются с постановки задач с коэффициентами целых чисел, а затем переходят к использованию коэффициентов рациональных чисел.
- Уровень 1
- Уровень 2
- Уровень 3
Взгляд учителя средней школы на то, почему смешанное обучение работает Узнайте из первых уст от учителя средней школы об эффективности ST Math в смешанном обучении. Читать сейчас »
Визуальное обучение математике распространяется на предложения средней школы Визуальная модель работает на уровне средней школы, см. доказательство здесь. Читать сейчас »
4 совета, как вывести математику ST в средней школе на новый уровень
Объяснение математических игр ST, которые визуально моделируют сложение и вычитание.
Преподаватели, готовы узнать все о возможностях ST Math?
Углубление по алгебре для 8-го класса | St. Edward Eagles
Средняя школа St. Edward High School приглашает всех мальчиков 8-го класса в 2022-2023 учебном году, которые будут зачислены в программу по алгебре I в своих школах, принять участие в программе St. Программа Эда по обогащению алгебры.
Информация о программе приведена ниже, или вы можете позвонить в приемную комиссию St. Edward по телефону 216-521-2204.
Почему St. Edward предлагает программу повышения квалификации по алгебре для мальчиков 8-го класса?
Учебный курс по алгебре для 8-го класса Св. Эдуарда предназначен для того, чтобы помочь учащимся получить максимально прочную основу по алгебре, чтобы в полной мере воспользоваться преимуществами школьной программы по математике с целью успешного завершения IB Math HL или AP Calculus BC в качестве старшеклассник.
Для кого предназначена программа?
Учебный курс по алгебре для 8-го класса St. Edward предназначен для сильных учащихся-математиков, которые будут изучать алгебру I в средней школе в течение 8-го класса.
Что повлечет за собой программа?
Программа будет сосредоточена на интенсивном ежеквартальном обогащении в сочетании с оценкой и подробными отзывами от декана академического факультета Сент-Эд г-на Дэна Коркорана ’07. Акцент на интенсивных ежеквартальных занятиях делается на том, чтобы убедиться, что участники продвигаются таким образом, чтобы они были на пути к успеху в алгебре с отличием II в качестве первокурсников.
Участники будут встречаться онлайн с г-ном Коркораном ’07 и другими учащимися программы два раза в каждую академическую четверть примерно по 30 минут каждая. Онлайн-сессии будут включать в себя обзор тем, которые должны были быть освоены до этого момента в учебной программе, на основе учебной программы по алгебре Св.
Эдварда и стандартов штата Огайо, а также возможность для студентов задавать вопросы. Кроме того, учащиеся получат серию видеопрезентаций от г-на Коркорана ’07 в течение назначенной недели каждого квартала с темами и уроками, чтобы применить математические концепции к реальному миру и предоставить учащимся возможность решать проблемы через дискуссионную доску. Большинство студентов могут рассчитывать на то, что они будут работать над обогащением по алгебре примерно 3-4 часа в течение каждой из четырех запланированных недель.
Расписание программы повышения квалификации по алгебре на 2022-23 гг.:
Четверть 1: линейные уравнения и неравенства
Понедельник, 19 сентября — пятница, 23 сентября, 30-минутные онлайн-занятия 9003 9003 начиная с 19:00 во вторник, 20 сентября, и в четверг, 22 сентября
Четверть 2: системы уравнений и неравенств
с понедельника, 14 ноября по пятницу, 18 ноября, 30-минутные онлайн-занятия
, начало в 19:00.
во вторник, 15 ноября, и в четверг, 17 ноября
3 квартал: Экспоненты и радикалы
с понедельника, 9 января по пятницу, 13 января, 30-минутные онлайн-занятия
, начало в 19:00. во вторник, 10 января, и в четверг, 12 января
Четвертый квартал: квадратичные функции
с понедельника, 27 марта по пятницу, 31 марта, 30-минутные онлайн-занятия
, начало в 19:00. во вторник, 28 марта, и в четверг, 30 марта
Есть ли стоимость?
Да. Стоимость составляет 150 долларов на одного учащегося, но каждый учащийся, зачисленный в программу повышения квалификации по алгебре Св. Эдварда, а также поступивший в среднюю школу Св. Эдуарда в классе 2027 года, получит кредит в размере 150 долларов на свой счет за обучение. Класс ограничен 35 учениками.
Почему такая стоимость?
Поскольку спрос на программу высок, а количество мест ограничено, плата предназначена для того, чтобы помочь учащимся оставаться вовлеченными в течение всей программы.